Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem. Możemy przyjąć, że jednokrotna różnica na zbiorze \(\displaystyle{ A}\), to jest to zbiór \(\displaystyle{ A}\). Dwukrotna różnica to jest to: \(\displaystyle{ A \setminus A=\emptyset.}\) Trzykrotna różnica to jest to: \(\displaystyle{ A \setminus \left( A \setminus A\right) = A \setminus \emptyset= A}\); udowodniłem dzisiaj, że po nieparzystej ilości takich operacji otrzymamy ten dany zbiór \(\displaystyle{ A}\), a po parzystej ilości takich operacji otrzymamy zbiór pusty. Podobny wynik otrzymamy robiąc podobne konstrukcje z różnicą symetryczną zbiorów (udowodniłem to dzisiaj na dwa sposoby). A wczoraj, na dobranoc, udowodniłem też, że jeśli mamy dwa niepuste zbiory mocy co najwyżej continuum, przy czym jeden z nich jest mocy continuum, to ich iloczyn kartezjański jest mocy continuum. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech \(\displaystyle{ x \in \RR.}\)
Zdefiniujmy indukcyjnie ciąg liczbowy:
\(\displaystyle{ f_x\left( n\right)= \begin{cases} 0, \hbox{ dla } n=0 \\ x- f _{x} \left( n-1\right), \hbox{ dla } n \ge 1; \end{cases}}\)
czyli jest to ciąg: \(\displaystyle{ \left( 0, x, x-x, x- \left( x-x\right) , \ldots\right) .}\)
Wykażemy, że dla liczb parzystych \(\displaystyle{ n}\) ten ciąg przyjmie wartość \(\displaystyle{ 0}\), a dla nieparzystych numerów przyjmie wartość \(\displaystyle{ x.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
(Stosujemy zasadę indukcji dla liczb parzystych- patrz książkę : Heleny Rasiowej "Wstęp do matematyki współczesnej", wydanie piąte, str. 38 zad. 1 ", (tam jest mała różnica, bo nie uznają \(\displaystyle{ 0}\) za liczbę naturalnę, ja uznaję) ).
Niewątpliwie, z definicji: \(\displaystyle{ f_x\left( 0\right)=0.}\)
Kro k indukcyjny:
dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) jeśli \(\displaystyle{ f_x\left( 2n\right) = 0}\), to \(\displaystyle{ f_x\left( 2n+1\right) = x- f_x\left( 2n\right) = x-0=x,}\)
gdzie pierwsze przejście wynika z definicji, a następne z założenia indukcyjnego.
Dalej:
\(\displaystyle{ f_x\left( 2n+2\right) = x- f_x\left( 2n+1\right) = x-x=0.}\)
Krok indukcyjny został dowiedziony. Zasada indukcji dla liczb parzystych dowodzi, że \(\displaystyle{ f_x\left( m\right)=0}\), dla każdej liczby parzystej \(\displaystyle{ m.}\)\(\displaystyle{ }\)
Dla liczb nieparzystych \(\displaystyle{ m=2n+1}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\), wtedy \(\displaystyle{ m \ge 1}\), wtedy, z definicji tej funkcji:
\(\displaystyle{ f_x\left( m\right) = x- f_x\left( m-1\right) = x- f_x\left( 2n\right) = x-0=x.}\)
A zatem \(\displaystyle{ f_x\left( m\right) = x}\), dla każdej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ m.\square}\)
Przejdźmy do następnego problemu:
Zauważmy, że \(\displaystyle{ 0 ^{n}=0}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots;}\) oraz \(\displaystyle{ 1 ^{n}=1}\), dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\)- łatwo można to indukcyjnie udowodnić.
Pytamy, czy dla innych liczb \(\displaystyle{ x \in \RR}\) może zachodzić \(\displaystyle{ x ^{n}=x}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots .}\)
Pokażemy, że nie ma innych liczb o tej własności.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Przypuśćmy, że dla \(\displaystyle{ x \neq 0,1}\) mamy \(\displaystyle{ x ^{n}= x}\), dla dowolnego \(\displaystyle{ n=1,2,3, \ldots .}\)
A zatem, w szczególności \(\displaystyle{ x ^{2}=x}\)( geometrycznie widzimy już sprzeczność, bo prosta \(\displaystyle{ y=x}\) przecina parabolę \(\displaystyle{ y=x^2}\), tylko w punktach \(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\)), nie mniej, nie zastępuje to dowodu.
Jeśli \(\displaystyle{ x<0}\), to \(\displaystyle{ x ^{2}= x \cdot x> 0 \cdot x=0>x}\), a zatem \(\displaystyle{ x ^{2}>x}\)- sprzeczność.
Jeśli \(\displaystyle{ 1>x>0}\), to ponieważ \(\displaystyle{ x<1}\), to \(\displaystyle{ x ^{2}= x \cdot x<1 \cdot x=x}\), czyli \(\displaystyle{ x ^{2}<x}\)- sprzeczność.
Jeśli \(\displaystyle{ x>1}\), to również \(\displaystyle{ x>0}\), a zatem \(\displaystyle{ x ^{2}=x \cdot x>1 \cdot x=x}\)- sprzeczność.
Wobec czego \(\displaystyle{ x ^{2}= x,}\) tylko dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0,1\right\}}\), i \(\displaystyle{ x ^{n}= x}\), dla \(\displaystyle{ n=1,2,3, \ldots}\), tylko dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0,1\right\}.}\)
Przejdźmy do następnego zadania:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem.
Rozważmy ciąg zbiorów, zdefiniowany indukcyjnie:
\(\displaystyle{ f_A\left( n\right) = \begin{cases} \emptyset, \hbox{ dla } n=0; \\ A \setminus f _{A} \left( n-1\right), \hbox{ dla } n \ge 1. \end{cases} }\)
Czyli jest to ciąg: \(\displaystyle{ \left( \emptyset, A, A \setminus A, A \setminus \left( A \setminus A\right), \ldots\right). }\)
Wykażemy, że \(\displaystyle{ f_A\left( m\right) = \emptyset}\), dla liczb parzystych \(\displaystyle{ m}\); i \(\displaystyle{ f_A\left( m\right) = A}\), dla nieparzystych liczb \(\displaystyle{ m}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem.
Rozważmy ciąg zbiorów zdefiniowany indukcyjnie:
\(\displaystyle{ f_A\left( n\right) = \begin{cases} \emptyset, \hbox{ dla } n=0; \\ A\oplus f_A \left( n-1\right), \hbox{ dla } n \ge 1. \end{cases} }\)
Czyli jest to ciąg: \(\displaystyle{ \left( \emptyset, A, A\oplus A, A\oplus \left( A\oplus A\right), \ldots\right). }\)
Wykażemy, że dla liczb naturalnych parzystych ten ciąg jest stale równy zbiorowi pustemu, a dla liczb nieparzystych jest stale równy temu danemu zbiorowi \(\displaystyle{ A}\). Udowodnimy to na dwa sposoby:
PIERWSZY DOWÓD TEGO FAKTU::
DRUGI DOWÓD TEGO FAKTU::
\(\displaystyle{ f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n=0 \Leftrightarrow f_1=0 \vee f_2=0 \vee \ldots \vee f_n=0.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Dowód jest indukcyjny:
Dla \(\displaystyle{ n=1}\), mamy:
\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{1} f_i=f_1= 0 \Leftrightarrow f_1=0.}\)
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) mamy: \(\displaystyle{ f_1 \cdot f_2=0 \Leftrightarrow f_1= 0 \hbox{ lub } f_2=0}\)- jest to znana własność.
Krok indukcyjny:
Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla \(\displaystyle{ n.}\)
Rozpoczynamy z dowolnym układem \(\displaystyle{ f_1,f_2,\ldots, f_n, f _{n+1} \in \RR.}\)
Mamy wtedy, na mocy łączności mnożenia liczb rzeczywistych :
\(\displaystyle{ 0= f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n \cdot f _{n+1} \Longleftrightarrow \left( f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n\right) \cdot f _{n+1}=0 \Longleftrightarrow \left( f_1 \cdot f_2 \cdot \ldots \cdot f_n\right) =0 \hbox{ lub } f _{n+1}=0 \Longleftrightarrow, }\)
co jest równoważne, na mocy założenia indukcyjnego, więc to znaczy, że:
\(\displaystyle{ \Longleftrightarrow \left( f_1=0 \hbox{ lub } f_2=0\hbox{ lub } \ldots \hbox{ lub } f_n=0 \right) \hbox{ lub } f _{n+1}=0 \Longleftrightarrow f_1=0 \vee f_2=0 \vee \ldots \vee f _{n+1}=0.\square}\)
Na koniec podam dwa proste fakty:
Rozważmy dwa niepuste zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y,}\) mocy co najwyżej continuum, przy czym co najmniej jeden z nich jest mocy continuum. Wykażemy, że iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ X \times Y}\) jest mocy continuum.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest mocy nie większej niż continuum, więc zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest równoliczny z pewnym podzbiorem \(\displaystyle{ A}\) zbioru liczb rzeczywistych.
Podobnie zbiór \(\displaystyle{ Y\sim B}\), gdzie \(\displaystyle{ B \subset \RR}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ X \times Y\sim A \times B \subset \RR \times \RR\sim \RR}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| X \times Y\right| \le \left| \RR \times \RR\right| =\left| \RR\right| .}\)
Wiemy, że jeden ze zbiorów \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest mocy continuum, więc jeśli \(\displaystyle{ X\sim \RR}\), to niech \(\displaystyle{ y \in Y \neq \left\{ \right\} }\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \RR\sim X\sim X \times \underbrace{ \left\{ y\right\} }_{ \subset Y} \subset X \times Y,}\) a zatem \(\displaystyle{ \left| X \times Y\right| \ge \left| \RR \right| .}\)
Jeśli \(\displaystyle{ Y\sim \RR}\), to pokażemy, że również \(\displaystyle{ \left| X \times Y\right| \ge \left| \RR\right|.}\)
Niech \(\displaystyle{ x \in X \neq \left\{ \right\}}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \times Y\sim Y \sim \RR.}\) Mamy \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \subset X}\), a zatem: \(\displaystyle{ X \times Y\supset \left\{ x\right\} \times Y \sim \RR}\), a zatem \(\displaystyle{ \left| X \times Y\right| \ge \RR,}\)
i, na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina, iloczyn kartezjański \(\displaystyle{ X \times Y }\) jest mocy continuum. \(\displaystyle{ \square}\)
Wykażemy podobny fakt, dla zbiorów co najwyżej przeliczalnych; tzn.:
Jeśli mamy dwa niepuste zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y }\)co najwyżej przeliczalne, przy czym co najmniej jeden z nich jest nieskończony, to wykażemy, że \(\displaystyle{ X \times Y\sim \NN}\).
DOWÓD TEGO FAKTU::