Matematyka.pl

Poniżej przytaczam Corollary 2.27 z książki Introduction to Mathematical Logic Elliotta Mendelsona (wydanie 6).

Każda teoria pierwszego rzędu z równością, która ma nieskończony model normalny, ma nieskończony przeliczalny model normalny.

Niestety nie rozumiem fragmentu dowodu. Mam wrażenie, że rozumowanie sprowadza się na takiej własności:

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie teorią z równością, która ma nieskończony model normalny. Rozszerzamy język teorii \(\displaystyle{ K}\) o skończoną ilość stałych \(\displaystyle{ b_1,\ldots, b_n}\) i dołączamy aksjomaty \(\displaystyle{ b_i\neq b_j}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i\neq j}\). Wówczas powstała teoria jest niesprzeczna.

Proszę o pomoc w udowodnieniu tej własności, bo dowód w książce jest dla mnie niejasny. Założenie, że ten model normalny jest nieskończony jest tutaj istotne, bo są teorie, gdzie wszystkie modele normalne są skończone. Wystarczy dodać jako aksjomat np. formułę \(\displaystyle{ \exists_x \forall_y x=y}\).

Skoro istnieje nieskończony model teorii \(\displaystyle{ K}\), to czy nie wystarczy go wzbogacić interpretując nowe symbole jako parami różne elementy?

Faktycznie. Przeczytałem w dowodzie, że trzeba wziąć rozszerzenie danego modelu i to mnie zmyliło, bo myślałem, że trzeba powiększyć dziedzinę.

"expansion of a model" to po polsku nie "rozszerzenie modelu", lecz "wzbogacenie modelu", do modelu z tym samym uniwersum, lecz dla większego języka np. z dodatkowym symbolami stałych, relacji czy funkcji, przez odpowiednią interpretację tychże w modeli.
Natomiast "extension of a model" to po polsku "rozszerzenie modelu".