Matematyka.pl

Mam takie zadanie
Udowodnij ,że wyrażenie jest tautologią
\(\displaystyle{ [\bigwedge\limits_{x} \phi(x) \Rightarrow \Psi ] \Rightarrow \bigvee\limits_{x} [\phi(x) \Rightarrow \Psi]}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Psi}\) jest funkcja zdaniowa ktora nie zawiera x jako zmiennej wolnej.

Próbowałem to udowodnić w ten sposób
Jedynym wartościowaniem dla którego \(\displaystyle{ [\bigwedge\limits_{x} \phi(x) \Rightarrow \Psi ] \Rightarrow \bigvee\limits_{x} [\phi(x) \Rightarrow \Psi] \equiv 0}\) to gdy zachodzi
\(\displaystyle{ [\bigwedge\limits_{x} \phi(x) \Rightarrow \Psi ] \equiv 1}\)
\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{x} [\phi(x) \Rightarrow \Psi] \equiv 0}\)

Pierwsze zdanie można rozumieć ,że dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ \phi(x)}\) ma własność \(\displaystyle{ \Psi}\)
Z kolei drugie czytam jako istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki że \(\displaystyle{ \phi(x)}\) nie ma własności \(\displaystyle{ \Psi}\), a to stoi w sprzeczności z poprzednim zdaniem, zatem nigdy wyjściowe zdanie nie będzie dawało 0 więc musi być zawsze prawdziwe. Czy taki dowód "słowny" jest akceptowalny i czy w ogóle jest on prawidłowy? Czy istnieje jakiś bardziej formalny dowód tego że formuła jest tautologią?

H0t_Orange_B0i pisze: ↑29 paź 2023, o 20:43 Pierwsze zdanie można rozumieć ,że dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ \phi(x)}\) ma własność \(\displaystyle{ \Psi}\)
Z kolei drugie czytam jako istnieje \(\displaystyle{ x}\) taki że \(\displaystyle{ \phi(x)}\) nie ma własności \(\displaystyle{ \Psi}\)

Sformułowanie "\(\displaystyle{ \phi(x)}\) ma własność \(\displaystyle{ \Psi}\)" nie ma tutaj najmniejszego sensu. Jak przypuszczam w tym kontekście \(\displaystyle{ \phi(x)}\) jest formułą z potencjalną zmienną wolną \(\displaystyle{ x}\), a \(\displaystyle{ \Psi}\) formułą bez zmiennych wolnych (czyli zdaniem). Z tych powodów przedstawiony dowód jest niepoprawny.

Dowód tautologii rachunku predykatów na poziomie intuicyjnym powinien przypominać zwykłe rozumowanie matematyczne.