Równoważność i implikacja.

lalalalal · Post autor: **lalalalal** » 6 wrz 2004, o 18:32

Jakie są przykłady równoważności i implikacji??

Arek · Post autor: **Arek** » 6 wrz 2004, o 22:10

Przykłady równoważności:
a^2-b^2=0 i a,b>0 a=b , a,b"e"R

wielomian Q(x) o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek równy -1 x+1 dzieli Q(x)

Przykłady implikacji:

Brak miejsca zerowego pochodnej funkcji zmiennej rzeczywistej => brak punktów przegięcia

/ ale to, że funkcja nie ma punktów przegięcia, nie oznacza, że f'(x) nie ma miejsc zerowych/

Czworokąt jest kwadratem => ma 4 kąty proste

/ale czworakąt, który ma 4 kąty proste nie musi być kwadratem/

astrall · Post autor: **astrall** » 6 wrz 2004, o 22:43

Szczerze mowiac to wydaj mi sie ze nie:
wielomian Q(x) o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek równy -1 x-1 dzieli Q(x),
tylko x+1 dzieli Q(x),
A z kolei pierwsza pochodna nie swiadczy o punktach przegięcia, tylko o ekstremach funkcji....
Pozdrawiam

Arek · Post autor: **Arek** » 6 wrz 2004, o 23:12

Nom zmieniłem podzielność...

A co do punktów przegięcia: jeżeli f'(x) = 0 nie ma pierwiastków, to na mocy tw. Rolle'a nie ma ich także f"(x)=0. Zatem nie ma punktów przegięcia. Ale oczywiście, z faktu, że dla x_0, f"(x_0)=0, to jeszcze nie znaczy, że f'(x_0)=0. Tak sądzę..., ale może coś pokręciłem?

Pozdr.

astrall · Post autor: **astrall** » 7 wrz 2004, o 11:58

Zakladamy oczywiscie ze f(x) jest podwojnie rozniczkowalna, wiec f'(x) jest ciagla. Niech sobie f'(x) nie ma pierwiastkow, ale co to ma do tw. Rolle'a?
Tw. Rolle'a brzmi nastepujaco (wg. Wikipedii):

Jeśli dana funkcja f jest:
1. ciągła w przedziale [a, b]
2. jest różniczkowalna w przedziale (a, b)
3. na końcach przedziału [a, b] przyjmuje równe wartości: f(a) = f(b),
to w przedziale (a, b) istnieje co najmniej jeden punkt c taki, że f′(c) = 0.

Kontrprzykład:
f(x) = -cos(x) + 2x
f'(x) = sin(x) + 2
f''(x) = cos(x)

f''(x) ma duuuuuzo miejsc zerowych i to takich w ktorych zmienia znak, a f'(x) nie ma wcale...

Chyba cos pokreciles. ...

P.S. Twierdzenie Rolle'a to swietny przyklad implikacji

Arek · Post autor: **Arek** » 7 wrz 2004, o 17:34

no ok - masz rację, bo przecie o co się tu kłócić.... przykład z różniczkowaniem zresztą to za grube cięgi, tu o prostą operację logiczną biega... a z tym twierdzeniem Rolla to racja...

No, jakby IaIaIaIaI miał(a) jakieś pytania, bo się zamieszanie nieludzkie tu narobiło, to odpowiemy...