Matematyka.pl

Udowodniłem w ostatnią sobotę, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset P\left( X\right)}\), i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), taką, że \(\displaystyle{ \mathbb{B}= \mathbb{A}}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) również spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\).
Nim to udowodnimy, zauważmy najpierw prostszy warunek na podzbiorach danego zbioru:
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, \(\displaystyle{ A \subset X,}\) i zbiór \(\displaystyle{ A}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\), i jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ B \subset X}\), taki, że \(\displaystyle{ B=A}\), to zbiór \(\displaystyle{ B}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha.}\)
To jest chyba prawie że aksjomat. Bo dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ C}\), jeśli rozważymy formułę:
\(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) \Leftrightarrow x \in C,}\)
to jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( A\right)}\), tzn. \(\displaystyle{ A \in C}\), i \(\displaystyle{ B=A}\), to \(\displaystyle{ B \in C}\), tzn. \(\displaystyle{ \alpha \left( B\right)}\), na mocy aksjomatu dla równości.
A jeśli rozważymy formułę:
\(\displaystyle{ \alpha \left( x\right) \Leftrightarrow C \in x}\),
to jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( A\right)}\), tzn. \(\displaystyle{ C \in A}\), i jeśli \(\displaystyle{ B=A}\), to \(\displaystyle{ A=B}\), to na mocy aksjomatu równości zbiorów: \(\displaystyle{ C \in B}\), tzn. \(\displaystyle{ \alpha \left( B\right)}\). Ponieważ w teorii mnogości ZFC jedynym pozalogicznym symbolem predykatywnym jest \(\displaystyle{ \in}\) , to dalej wystarczy przeprowadzić indukcję po rozmiarze danej formuły. bo np. jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest formułą, i jeśli jest spełniona implikacja, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha \left( A\right)}\), to \(\displaystyle{ \alpha \left( B\right)}\), to jeśli \(\displaystyle{ \forall_{x} \quad \alpha \left( A\right) }\), to \(\displaystyle{ \forall_{x} \quad \alpha \left( B\right) }\), bo jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ x}\), to wtedy, po opuszczeniu kwantyfikatora ogólnego, otrzymamy, że \(\displaystyle{ \alpha \left( A\right)}\), i, na mocy założenia indukcyjnego, zastosowanego do formuły \(\displaystyle{ \alpha,}\) otrzymamy, że \(\displaystyle{ \alpha \left( B\right).}\)
Przykładem zastosowania tego twierdzenia może być sytuacja gdy dowodziłem, że suma porządkowa dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych, prawie rozłącznych, tzn. mających dokładnie jeden element wspólny, wte\(\displaystyle{ }\)dy ich suma porządkowa może być liniowym porządkiem. Dokładniej, gdy tym elementem wspólnym zbiorów \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest element \(\displaystyle{ a}\), i jeśli jest on elementem największym w \(\displaystyle{ X}\) i jednocześnie jest on elementem najmniejszym w \(\displaystyle{ Y}\), to standardowo zdefiniowana suma porządkowa tych zbiorów będzie liniowym porządkiem.

ZARYS DOWODU TEGO FAKTU:

Ponieważ podzbiór zbioru liniowo uporządkowanego jest liniowo uporządkowany, więc zbiór \(\displaystyle{ Y \setminus \left\{ a\right\}}\) jest liniowo uporządkowany, zbiór \(\displaystyle{ X}\) również (z założenia). Te dwa zbiory są rozłączne, bo jedynym ich elementem wspólnym może być \(\displaystyle{ a}\), ale \(\displaystyle{ a\not \in Y \setminus \left\{ a\right\}}\). Wobec czego te dwa zbiory liniowo uporządkowane są rozłączne, a zatem ich suma porządkowa jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ X \cup \left( Y \setminus \left\{ a\right\} \right) \stackrel{a \in X}{=}X \cup Y}\). Oznaczmy tą sumę porządkową jako \(\displaystyle{ \le _{X\oplus \left( Y \setminus \left\{ a\right\} \right) }}\), a naszą sumę porządkową oznaczmy jako: \(\displaystyle{ \le _{X\oplus Y}.}\) Pokazujemy, że te dwie sumy porządkowe są równe; i wtedy, suma porządkowa \(\displaystyle{ \le _{X\oplus Y}}\), jako ta sama relacja, w tym samym zbiorze \(\displaystyle{ X \cup Y}\), jest liniowym porządkiem.\(\displaystyle{ \square}\)

Udowodnimy teraz nasz fakt:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) niech będzie rodziną podzbiorów \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset P\left( X\right)}\); i załóżmy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\), oraz załóżmy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) podzbiorów \(\displaystyle{ X}\), jest taka, że: \(\displaystyle{ \mathbb{B} =\mathbb{A}.}\) Wtedy również rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\).

Dla dowodu tego faktu wystarczy do poprzedniego prostszego faktu na podzbiorach danego zbioru podstawić: \(\displaystyle{ X:=P\left( X\right)}\) (zbiór potęgowy \(\displaystyle{ P\left( X\right)}\) to też jest zbiór- jest to zbiór wszystkich podzbiorów \(\displaystyle{ X}\)), oraz wystarczy podstawić za \(\displaystyle{ A:= \mathbb{A}}\), a za \(\displaystyle{ B:= \mathbb{B}}\), i za formułę \(\displaystyle{ \alpha}\) bez zmian podstawiamy formułę \(\displaystyle{ \alpha}\), i wystarczy zastosować powyższy fakt\(\displaystyle{ .\square}\)

Ten fakt już wcześniej znalazł zastosowanie: mając zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mając rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\), oraz rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) podzbiorów \(\displaystyle{ X}\), taką, że \(\displaystyle{ \mathcal{S}= \mathcal{R}}\), to wnioskowaliśmy wtedy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ X}\), jako ta sama rodzina, co rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\), rodzina podzbiorów tego samego zbioru \(\displaystyle{ X.}\)

Jakub Gurak pisze: ↑4 mar 2024, o 21:33 Udowodniłem w ostatnią sobotę, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset P\left( X\right)}\), i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), taką, że \(\displaystyle{ \mathbb{B}= \mathbb{A}}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) również spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\).

To już jest kabaret

JK

Ale w praktyce rozumowania matematycznego w podobny sposób można tego rozumowania używać (choć raczej bardziej dla podzbiorów danego zbioru, tak jak wspominałem powyżej, niż dla rodzin podzbiorów danego zbioru), czyż nie
Wiem, że większość matematyków nie zwróciłoby uwagi na takie prawo, dla mnie jednak to prawo jest przydatne (a twierdzeń o równości zbiorów wykazałem zapewne wiele), i lubię dogłębnie przyglądać się swoim rozumowaniom, więc chciałem to rozumowanie nieco uściślić, aby wiedzieć z czego tak naprawdę tu korzystam... Czy chodzi tu po prostu o to, że jeśli mamy dane dwa elementy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), z których pierwszy spełnia dany warunek \(\displaystyle{ \alpha }\), i jeśli \(\displaystyle{ a=b,}\) to \(\displaystyle{ b}\) również spełnia ten warunek?? I nie- dla mnie nie jest z automatu oczywiste, aby te dwa elementy były z automatu różne, bo inaczej, to po co dowodzilibyśmy różnorakich praw równości zbiorów. Co więcej, skoro jest wiele praw równości zbiorów, to podejrzewam, że (oczywiście- przy dogłębnym podejściu do rozumowania matematycznego, bo przy płytkim podejściu, to pewnie nie zwraca się na to uwagi) daje to dużo możliwości...

Jakub Gurak pisze: ↑5 mar 2024, o 16:51Czy chodzi tu po prostu o to, że jeśli mamy dane dwa elementy \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), z których pierwszy spełnia dany warunek \(\displaystyle{ \alpha }\), i jeśli \(\displaystyle{ a=b,}\) to \(\displaystyle{ b}\) również spełnia ten warunek?? I nie- dla mnie nie jest z automatu oczywiste aby te dwa elementy były z automatu różne

No cóż, to najwyraźniej czegoś nie rozumiesz, co udowadniałeś już wcześniej. Prawdopodobnie nie odróżniasz semantyki od syntaktyki. Jeżeli dla obiektów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) masz \(\displaystyle{ a=b}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest tym samym co \(\displaystyle{ b}\) i w związku z tym ma te same własności - tu nie trzeba żadnego dowodu.

Jakub Gurak pisze: ↑5 mar 2024, o 16:51Co więcej, skoro jest wiele praw równości zbiorów, to podejrzewam, że (oczywiście- przy dogłębnym podejściu do rozumowania matematycznego, bo przy płytkim podejściu, to pewnie nie zwraca się na to uwagi) daje to dużo możliwości...

Bzdura. To co robisz to nie jest dogłębne podejście, tylko dogłębne niezrozumienie. A coś takiego

Jakub Gurak pisze: ↑4 mar 2024, o 21:33 Ten fakt już wcześniej znalazł zastosowanie: mając zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz mając rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\), oraz rodzinę \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) podzbiorów \(\displaystyle{ X}\), taką, że \(\displaystyle{ \mathcal{S}= \mathcal{R}}\), to wnioskowaliśmy wtedy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{S}}\) jest rozkładem zbioru \(\displaystyle{ X}\), jako ta sama rodzina, co rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\), rodzina podzbiorów tego samego zbioru \(\displaystyle{ X.}\)

to można jako anegdotę pokazywać (choć to w sumie - jak się zastanowić - jest raczej smutne niż śmieszne).

JK

Jakub Gurak pisze: ↑4 mar 2024, o 21:33 Udowodniłem w ostatnią sobotę, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), tzn. \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset P\left( X\right)}\), i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\), a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), taką, że \(\displaystyle{ \mathbb{B}= \mathbb{A}}\), to \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) również spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\).

Powedzmy, że nie wierzymy w oczywistą oczywistość tego stwierdzenia i jednak chcemy go uzasadnić.

Na początek musimy odpowiedzieć na pytanie, co dokładnie znaczy "\(\displaystyle{ \mathbb A}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\)". Przyjmijmy, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest formułą języka teorii mnogości z jedną zmienną wolną \(\displaystyle{ x}\), to "\(\displaystyle{ \mathbb A}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\)" jest formułą postaci \(\displaystyle{ \mathbb A=\{x\colon \alpha(x)\}}\). Formalnie jest to pewna formuła \(\displaystyle{ \varphi}\) zmiennej wolnej \(\displaystyle{ \mathbb A}\) zależna od formuły \(\displaystyle{ \alpha}\).

To co chcemy udowodnić, to zdanie:

Dla każdej formuły \(\displaystyle{ \alpha}\), zachodzi \(\displaystyle{ ZFC\vdash (\varphi(\mathbb A) \wedge \mathbb B=\mathbb A)\implies \varphi(\mathbb B) }\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) jest zdefiniowana na podstawie \(\displaystyle{ \alpha}\) jak wyżej.

Formuła \(\displaystyle{ (\varphi(\mathbb A) \wedge \mathbb B=\mathbb A)\implies \varphi(\mathbb B)}\) jest natomiast dowodliwa w każdej teorii z równością (zazwyczaj jest nawet aksjomatem). Dlatego dowód Jakuba Guraka jest stuprocentowo niepotrzebny.


Pozwoliłem sobie na uproszczenie, gdyż w oryginalnym problemie mamy jeszcze zbiór \(\displaystyle{ X}\). Wtedy formuła \(\displaystyle{ \varphi}\) ma jeszcze zmienną wolną \(\displaystyle{ X}\) i wygląda tak: \(\displaystyle{ \mathbb A=\{x \in \mathcal P (X) \colon \alpha(x)\}}\).

Dodano po 6 godzinach 41 minutach 25 sekundach:
Chciałbym wyprostować mój post, gdyż chyba źle zinterpretowałem znaczenie sformułowania "\(\displaystyle{ \mathbb A}\) spełnia formułę \(\displaystyle{ \alpha}\)". Otóź naturalna interpretacja to formuła \(\displaystyle{ \alpha(\mathbb A)}\) (czyli efekt podstawienia \(\displaystyle{ \mathbb A}\) pod jedyną zmienną wolną). Do mojej poprzedniej interpretacji pasowałoby raczej "\(\displaystyle{ \mathbb A}\) to ogół elementów spełniających formułę \(\displaystyle{ \alpha}\)".

Nie zmienia się natomiast wniosek (a wręcz sytuacja się upraszcza), gdyż formuła \(\displaystyle{ (\alpha(\mathbb A) \wedge \mathbb B=\mathbb A)\implies \alpha(\mathbb B)}\) tak samo jest zazwyczaj aksjomatem teorii z równością i nie wymaga żadnego dowodu.