Matematyka.pl

Przerabiając podręcznik wstępu do matematyki natknąłem się na taki przykład:

Rozważmy następujące, niepoprawne rozumowanie:

Jeśli \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4 - x}}\), to \(\displaystyle{ x^2 + 4x + 4 = 4 - x}\), więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x = 0}\). Zatem liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4 - x}.}\)

Okazuje się, że wskazanie przyczyny niepoprawności tego rozumowania może sprawiać kłopoty - studenci często za błąd uważają podniesienie obu stron wyjściowej równości do kwadratu, gdyż w szkole nie pozwalano tego robić. Tymczasem z równości dwóch liczb wynika przecież równość ich kwadratów, czyli problem leży gdzie indziej. Zacznijmy od sformalizowania zapisu. Fakt, że liczba rzeczywista \(\displaystyle{ a}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4 - x}}\) możemy wyrazić następująco:

\(\displaystyle{ x = a \implies x + 2 = \sqrt{4 - x}.}\)

Wobec tego, po wykorzystaniu tautologii \(\displaystyle{ (p \implies r) \land (q \implies r) \implies (p \lor q \implies r)}\) tezę naszego rozumowania możemy zapisać tak

\(\displaystyle{ x = -5 \lor x = 0 \implies x + 2 = \sqrt{4 - x}.}\)

Jeśli teraz przyjmiemy oznaczenia

\(\displaystyle{ p = (x + 2 = \sqrt{4 - x}), \quad q = (x = -5 \lor x = 0),}\)

to widzimy, że nasze rozumowanie ma postać

\(\displaystyle{ (p \implies q) \implies (q \implies p),}\)

a zatem jest niepoprawne.

Krawszewski, J. (2017). Wstęp do matematyki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN/WNT, s. 20.

Czy dobrze rozumiem, że formalnie rzecz biorąc nie mogę napisać, że
\(\displaystyle{ x-1=0}\), więc \(\displaystyle{ x = 1}\), zatem \(\displaystyle{ x = 1}\) jest rozwiązaniem rówania \(\displaystyle{ x-1 = 0,}\) bez wcześniejszego uzasadnienia, że równania \(\displaystyle{ x-1=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) są równoważne? Pomijam oczywistość równoważności tych dwóch równań, chodzi mi o formalną poprawność rozumowania. Taki jest cel dydaktyczny tego przykładu czy się rozminąłem z intencją autora?

Gdy uzasadnimy, że liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami, to uzasadnimy równoważność \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4 - x}}\), to \(\displaystyle{ x^2 + 4x + 4 = 4 - x}\), więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x = 0}\). Równocześnie liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4 - x},}\) bo \(\displaystyle{ -5+2 = \sqrt{4- (-5)}}\) i \(\displaystyle{ 0+2 = \sqrt{4+0}.}\)

Co formalnie jest już poprawne(?), tylko nie pomaga w algorytmizacji rozwiązywania równań. Zatem wnioskiem z tego przykładu może być fakt, że należy znać lub przynamniej wiedzieć, że istnieją algorytmy przekształcania równań tak, aby były równoważne i algorytmy te są udowodnione. Czy zupełnie nie o to chodzi?

Samouk1 pisze: 24 cze 2024, o 07:38 Przerabiając podręcznik wstępu do matematyki natknąłem się na taki przykład

Po latach nie jestem przesadnie zadowolony ze sformułowania tego przykładu...

Samouk1 pisze: 24 cze 2024, o 07:38 Czy dobrze rozumiem, że formalnie rzecz biorąc nie mogę napisać, że
\(\displaystyle{ x-1=0}\), więc \(\displaystyle{ x = 1}\), zatem \(\displaystyle{ x = 1}\) jest rozwiązaniem rówania \(\displaystyle{ x-1 = 0,}\) bez wcześniejszego uzasadnienia, że równania \(\displaystyle{ x-1=0}\) i \(\displaystyle{ x=1}\) są równoważne? Pomijam oczywistość równoważności tych dwóch równań, chodzi mi o formalną poprawność rozumowania. Taki jest cel dydaktyczny tego przykładu czy się rozminąłem z intencją autora?

Cel dydaktyczny jest raczej taki, żeby uświadomić strukturę logiczną pewnych rozumowań, w szczególności różnicę pomiędzy wynikaniem a równoważnością (choć zgadzam się, że ta intencja może nie być całkowicie jasna - jak już pisałem, nie jestem przesadnie zadowolony ze sformułowania tego przykładu...). W szczególności, nie jest błędem obustronne podnoszenie nierówności do kwadratu - błędem jest uważanie, że to, co otrzymamy w wyniku tych rachunków jest rozwiązaniem równania.

Samouk1 pisze: 24 cze 2024, o 07:38 Gdy uzasadnimy, że liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami, to uzasadnimy równoważność \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4 - x}}\), to \(\displaystyle{ x^2 + 4x + 4 = 4 - x}\), więc \(\displaystyle{ x = -5}\) lub \(\displaystyle{ x = 0}\). Równocześnie liczby \(\displaystyle{ -5}\) i \(\displaystyle{ 0}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ x + 2 = \sqrt{4 - x},}\) bo \(\displaystyle{ \red{-5+2 = \sqrt{4- (-5)}}}\) i \(\displaystyle{ 0+2 = \sqrt{4+0}.}\)

Co formalnie jest już poprawne(?),

Nie, ponieważ \(\displaystyle{ -5}\) nie jest rozwiązaniem tego równania.

Samouk1 pisze: 24 cze 2024, o 07:38 tylko nie pomaga w algorytmizacji rozwiązywania równań. Zatem wnioskiem z tego przykładu może być fakt, że należy znać lub przynamniej wiedzieć, że istnieją algorytmy przekształcania równań tak, aby były równoważne i algorytmy te są udowodnione. Czy zupełnie nie o to chodzi?

Chodzi o to, żeby mieć świadomość, co tak naprawdę robimy wykonując algorytmy i jakie mogą być tego konsekwencje. Świadomość tego, że niektóre przejścia są równoważne, a nie które nie i jakie są tego konsekwencje.

JK