Matematyka.pl

Postać normalna
1. Przekształć do postaci kanonicznej formułę: \(\displaystyle{ ((x \vee (y \ \wedge \ z)) \rightarrow \neg z }\).
Czy chodzi tutaj o alternatywną postać normalną i koniunkcyjną postać normalną?

Aksjomatyczny rachunek zdań
2. \(\displaystyle{ \neg P,Q \vdash P \rightarrow Q}\). Dowieść.

Logika pierwszego rzędu
3. Znajdź wartość logiczną formuły \(\displaystyle{ \exists x \exists yP(f(x,y),a)}\) w interpretacji
\(\displaystyle{ M=\{1,2\}, f(1,1)=1, f(2,2)=1, f(1,2)=f(2,1)=2, P(1,1)=P(2,2)=0, P(1,2) = P(2,1)=0, a=2.}\)

Jak w ogóle zabrać się za te zadania?

Nikomatmak pisze: ↑6 lut 2023, o 22:03 Postać normalna
1. Przekształć do postaci kanonicznej formułę: \(\displaystyle{ ((x \vee (y \ \wedge \ z)) \rightarrow \neg z }\).
Czy chodzi tutaj o alternatywną postać normalną i koniunkcyjną postać normalną?

To chyba Ty powinieneś wiedzieć, co u Ciebie nazywane jest "postacią normalną".

Nikomatmak pisze: ↑6 lut 2023, o 22:03 Aksjomatyczny rachunek zdań
2. \(\displaystyle{ \neg P,Q \vdash P \rightarrow Q}\). Dowieść.

A jakie masz aksjomaty?

Nikomatmak pisze: ↑6 lut 2023, o 22:03 Logika pierwszego rzędu
3. Znajdź wartość logiczną formuły \(\displaystyle{ \exists x \exists yP(f(x,y),a)}\) w interpretacji
\(\displaystyle{ M=\{1,2\}, f(1,1)=1, f(2,2)=1, f(1,2)=f(2,1)=2, P(1,1)=P(2,2)=\red{0}, P(1,2) = P(2,1)=\red{0}, a=2.}\)

Na pewno tak? Skoro predykat \(\displaystyle{ P}\) w tej interpretacji jest zawsze fałszywy, to nie bardzo jest co sprawdzać. Ale podejrzewam, że jedno z czerwonych zer ma być jedynką.

JK

Taki był przykład jeśli chodzi 3. A jak by wyglądało rozwiązanie, gdyby przypuśćmy \(\displaystyle{ P(1,1)=P(2,2)=1}\) ?

Nikomatmak pisze: ↑7 lut 2023, o 21:31 Taki był przykład jeśli chodzi 3.

No to wyjątkowo prosto. Skoro predykat \(\displaystyle{ P}\) jest zawsze fałszywy w tej interpretacji, co całą formuła też.

Nikomatmak pisze: ↑7 lut 2023, o 21:31 A jak by wyglądało rozwiązanie, gdyby przypuśćmy \(\displaystyle{ P(1,1)=P(2,2)=1}\) ?

Po interpretacji masz \(\displaystyle{ \exists x\in M \exists y\in M\, P(f(x,y),2)}\). Predykat \(\displaystyle{ P(f(x,y),2)}\) będzie więc prawdziwy tylko, gdy \(\displaystyle{ f(x,y)=2}\). Formuła zaś będzie prawdziwa, jeśli istnieją takie \(\displaystyle{ x,y\in M}\), że \(\displaystyle{ f(x,y)=2}\). Ale istnieją: \(\displaystyle{ x=1,y=2}\) (lub \(\displaystyle{ x=2,y=1}\)) zatem formuła jest prawdziwa

Choć podejrzewam, że prędzej \(\displaystyle{ P(1,2)=P(2,1)=1.}\)

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑7 lut 2023, o 21:49 Po interpretacji masz \(\displaystyle{ \exists x\in M \exists y\in M\, P(f(x,y),2)}\). Predykat \(\displaystyle{ P(f(x,y),2)}\) będzie więc prawdziwy tylko, gdy \(\displaystyle{ f(x,y)=2}\). Formuła zaś będzie prawdziwa, jeśli istnieją takie \(\displaystyle{ x,y\in M}\), że \(\displaystyle{ f(x,y)=2}\). Ale istnieją: \(\displaystyle{ x=1,y=2}\) (lub \(\displaystyle{ x=2,y=1}\)) zatem formuła jest prawdziwa

Choć podejrzewam, że prędzej \(\displaystyle{ P(1,2)=P(2,1)=1.}\)

JK

Jak na moje to rozwiązanie jest identyczne czy to w przypadku \(\displaystyle{ P(1,1)=P(2,2)=1}\) czy \(\displaystyle{ P(1,2)=P(2,1)=1}\) (jak według Ciebie miało być). Chociaż jest duża możliwość, że nie mam racji, skoro poinformowałeś o tym.

Nikomatmak pisze: ↑8 lut 2023, o 01:00 Jak na moje to rozwiązanie jest identyczne czy to w przypadku \(\displaystyle{ P(1,1)=P(2,2)=1}\) czy \(\displaystyle{ P(1,2)=P(2,1)=1}\) (jak według Ciebie miało być).

Zgadza się. Uwaga odnosiła się do bardziej wg mnie prawdopodobnej lokalizacji błędu, bo rozwiązanie jest istotnie analogiczne (a nie identyczne - korzystasz w ten sam sposób z innych informacji).

JK