Matematyka.pl

Podaj wartość logiczną każdego z następujących zdań:
a) \(\displaystyle{ \forall x\in \RR\exists y\in \RR:|x|-|y|=x-y}\)
b)...
Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
a) Prawda, gdyż jeśli \(\displaystyle{ x \ge 0}\) to dostajemy równanie \(\displaystyle{ x-|y|=x-y}\) skąd \(\displaystyle{ |y|=y}\) i zawsze taki \(\displaystyle{ y}\) istnieje, byle tylko był \(\displaystyle{ y \ge 0}\).

Natomiast, gdy \(\displaystyle{ x<0}\) to dostajemy \(\displaystyle{ -x-|y|=x-y}\) skąd \(\displaystyle{ y-2x=|y|}\). Istnieje zatem zawsze \(\displaystyle{ y=x}\), że to równanie zachodzi, bo wówczas dostaniemy \(\displaystyle{ 2y=2x}\) czyli \(\displaystyle{ y=x}\).

Zatem w każdym przypadku to zdanie jest prawdziwe.

Dobrze?

b) \(\displaystyle{ \exists y\in \RR\forall x \in \RR:|x|-|y|=x-y}\).

Proszę o sprawdzenie:
Fałsz, gdyż jeśli \(\displaystyle{ y}\) miałoby być większe bądź równe zero, to wówczas jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) mniejsze od zera to otrzymamy \(\displaystyle{ -x-y=x-y}\) czyli \(\displaystyle{ x=0}\), co nie jest tu prawdą dla wszystkich \(\displaystyle{ x}\). Natomiast gdyby\(\displaystyle{ y}\) miało być mniejsze od zera to wówczas jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x<0}\), byle tylko \(\displaystyle{ x \neq y}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ -x+y=x-y}\) czyli \(\displaystyle{ x=y}\), co nie jest prawdą.

Nie jest to zatem tautologia.

Dobrze?

c) \(\displaystyle{ \exists x\in \RR \forall y\in \RR \exists z\in \RR:x^y=z*y}\)

To jest prawda, gdyż możemy wziąć \(\displaystyle{ x=0}\) i wówczas dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ y}\) lewa strona równania to zero i dodatkowo weźmiemy \(\displaystyle{ z=0}\), to prawa strona też jest zero, przy dowolnym \(\displaystyle{ y}\).

Dobrze?

A nie chociaż chyba w tym c) to nie bo nie ma czegoś takiego jak zero do potęgi zerowej.

max123321 pisze: 25 mar 2025, o 18:43 Podaj wartość logiczną każdego z następujących zdań:
a) \(\displaystyle{ \forall x\in \RR\exists y\in \RR:|x|-|y|=x-y}\)
[...]
a) Prawda, gdyż jeśli \(\displaystyle{ x \ge 0}\) to dostajemy równanie \(\displaystyle{ x-|y|=x-y}\) skąd \(\displaystyle{ |y|=y}\) i zawsze taki \(\displaystyle{ y}\) istnieje, byle tylko był \(\displaystyle{ y \ge 0}\).

Natomiast, gdy \(\displaystyle{ x<0}\) to dostajemy \(\displaystyle{ -x-|y|=x-y}\) skąd \(\displaystyle{ y-2x=|y|}\). Istnieje zatem zawsze \(\displaystyle{ y=x}\), że to równanie zachodzi, bo wówczas dostaniemy \(\displaystyle{ 2y=2x}\) czyli \(\displaystyle{ y=x}\).

Zatem w każdym przypadku to zdanie jest prawdziwe.

Niepotrzebnie komplikujesz sobie życie. Dla każdego \(\displaystyle{ x\in\RR}\) istnieje \(\displaystyle{ y\in\RR}\), mianowicie \(\displaystyle{ y=x}\), dla których prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ |x|-|y|=x-y}\).

max123321 pisze: 25 mar 2025, o 19:03 b) \(\displaystyle{ \exists y\in \RR\forall x \in \RR:|x|-|y|=x-y}\).

Fałsz, gdyż jeśli \(\displaystyle{ y}\) miałoby być większe bądź równe zero, to wówczas jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x}\) mniejsze od zera to otrzymamy \(\displaystyle{ -x-y=x-y}\) czyli \(\displaystyle{ x=0}\), co nie jest tu prawdą dla wszystkich \(\displaystyle{ \red{x}}\). Natomiast gdyby\(\displaystyle{ y}\) miało być mniejsze od zera to wówczas jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ x<0}\), byle tylko \(\displaystyle{ x \neq y}\) to otrzymamy \(\displaystyle{ -x+y=x-y}\) czyli \(\displaystyle{ x=y}\), co nie jest prawdą.

Nie jest to zatem tautologia.

Myślisz dobrze, piszesz nieco gorzej. Czerwony fragment jest do usunięcia (a trochę prościej byłoby po prostu wziąć \(\displaystyle{ x=-1}\)). No i końcowa konkluzja jest bez sensu - zdanie nie może być (lub nie być) tautologią, zdanie może być prawdziwe bądź fałszywe.

max123321 pisze: 25 mar 2025, o 19:11 A nie chociaż chyba w tym c) to nie bo nie ma czegoś takiego jak zero do potęgi zerowej.

To zależy od sytuacji, ale tu faktycznie jest kłopot (jak dla mnie \(\displaystyle{ 0^0=1}\), ale to wynika z interpretacji mnogościowej).

JK