Matematyka.pl

Mam problem z negacją implikacji i równoważności. Nie mam pewności czy dobrze używam praw, bo tylko te dwa poniżej mi pasują i nie jestem pewna czy wynik powinien właśnie tak wyglądać, czy coś jeszcze trzeba zrobić? Czy mógłby ktoś sprawdzić moje rozwiązania i pomóc mi zrozumieć, gdzie i dlaczego popełniam błąd?

\(\displaystyle{ a) p \vee (p \Rightarrow q)}\)
\(\displaystyle{ \neg (p \vee (p \Rightarrow q)}\)
\(\displaystyle{ [ \neg p \wedge \neg (p \Rightarrow q)]}\)
\(\displaystyle{ [ \neg p \wedge (p \wedge \neg q)]}\)
Zaprzeczenie implikacji

\(\displaystyle{ b)(q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r)}\)
\(\displaystyle{ \neg ((q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))}\)
\(\displaystyle{ [ \neg ((q \wedge r) \Rightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))] \vee [ \neg (( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r) \Rightarrow (q \Rightarrow p))]}\)
\(\displaystyle{ [(q \wedge r) \wedge \neg (( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))] \vee [(( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r)) \wedge \neg (q \Rightarrow r)]}\)
\(\displaystyle{ [(q \wedge r) \wedge (p \wedge (q \Rightarrow r))] \vee [(( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r)) \wedge (q \wedge r)]}\)
Zaprzeczenie równoważności

\(\displaystyle{ c)(2<3) \Leftrightarrow (2>3)}\)
\(\displaystyle{ \neg ((2<3) \Leftrightarrow (2>3))}\)
\(\displaystyle{ [ \neg ((2<3) \Rightarrow (2>3))] \vee [ \neg ((2>3) \Rightarrow (2<3))]}\)
\(\displaystyle{ [(2<3) \wedge \neg (2>3)] \vee [(2>3) \wedge \neg (2<3)]}\)
\(\displaystyle{ [(2<3) \wedge (2 \le 3)] \vee [(2>3) \wedge (2 \ge 3)]}\)
Zaprzeczenie równoważności

\(\displaystyle{ d)(2=3) \Rightarrow (2>3)}\)
\(\displaystyle{ \neg ((2=3) \Rightarrow (2>3))}\)
\(\displaystyle{ (2=3) \wedge \neg (2>3)}\)
\(\displaystyle{ (2=3) \wedge (2 \le 3))}\)
Zaprzeczenie implikacji

Launch_Bella pisze: ↑8 lis 2022, o 21:08\(\displaystyle{ a) p \vee (p \Rightarrow q)}\)
\(\displaystyle{ \neg (p \vee (p \Rightarrow q)}\)
\(\displaystyle{ [ \neg p \wedge \neg (p \Rightarrow q)]}\)
\(\displaystyle{ [ \neg p \wedge (p \wedge \neg q)]}\)

Dobrze (ale po co na końcu tyle nawiasów?).

Launch_Bella pisze: ↑8 lis 2022, o 21:08\(\displaystyle{ b)(q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r)}\)
\(\displaystyle{ \neg ((q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))}\)
\(\displaystyle{ [ \neg ((q \wedge r) \Rightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))] \vee [ \neg (( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r) \Rightarrow\,\blue{ (q \Rightarrow p)})]}\)
\(\displaystyle{ [(q \wedge r) \wedge \neg (( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))] \vee [(( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r)) \wedge\,\green{ \neg (q \Rightarrow r)}]}\)
\(\displaystyle{ [(q \wedge r) \wedge (p \wedge (q\, \red{\Rightarrow}\, r))] \vee [(( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r)) \wedge\,\green{ (q \wedge r)}]}\)

Nie mam pojęcia, skąd wytrzasnęłaś niebieski fragment. A zielone fragmenty są zupełnie "od czapy". Poza tym pomyliłaś się pod koniec przy przepisywaniu (czerwone).

Launch_Bella pisze: ↑8 lis 2022, o 21:08\(\displaystyle{ c)(2<3) \Leftrightarrow (2>3)}\)
\(\displaystyle{ \neg ((2<3) \Leftrightarrow (2>3))}\)
\(\displaystyle{ [ \neg ((2<3) \Rightarrow (2>3))] \vee [ \neg ((2>3) \Rightarrow (2<3))]}\)
\(\displaystyle{ [(2<3) \wedge \neg (2>3)] \vee [(2>3) \wedge \neg (2<3)]}\)
\(\displaystyle{ [(2<3) \wedge (2 \le 3)] \vee [(2>3) \wedge (2 \ge 3)]}\)

Dobrze.

Launch_Bella pisze: ↑8 lis 2022, o 21:08 \(\displaystyle{ d)(2=3) \Rightarrow (2>3)}\)
\(\displaystyle{ \neg ((2=3) \Rightarrow (2>3))}\)
\(\displaystyle{ (2=3) \wedge \neg (2>3)}\)
\(\displaystyle{ (2=3) \wedge (2 \le 3))}\)

Dobrze (tylko na końcu jeden zawias za dużo).

JK

Bardzo dziękuję za odpowiedź i wyjaśnienie.
Właśnie zauważyłam mój błąd, bo źle podstawiłam moje (p)- niebieski fragment i dlatego później źle wyszły te zielone fragmenty.
powinno być tam\(\displaystyle{ (q \wedge r)}\)zgadza się?

Launch_Bella pisze: ↑9 lis 2022, o 17:02 powinno być tam\(\displaystyle{ (q \wedge r)}\)zgadza się?

W miejsce niebieskiego - tak.

JK

Ok, czyli powinno być tak?

\(\displaystyle{ \neg ((q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))}\)
\(\displaystyle{ [ \neg ((q \wedge r) \Rightarrow \neg (( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))] \vee [ ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r) \Rightarrow \neg (q \wedge r)]}\)
\(\displaystyle{ [(q \wedge r) \wedge (p \wedge ( q \Leftrightarrow r))] \vee [( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r) \Rightarrow ( \neg q \vee \neg r)]}\)

No nie, zupełnie źle. Powinno być tak:

\(\displaystyle{ \neg ((q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r))}\)
\(\displaystyle{ \neg ((q \wedge r) \Rightarrow ( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r)) \vee \neg(( \neg p) \vee (q \Leftrightarrow r) \Rightarrow (q \wedge r))}\)

itd.

JK

Ten przykład sprawia mi najwięcej trudności, do tego wszystko pomieszałam, wstawiłam złe znaki już na początku ..., więc jeszcze raz:
\(\displaystyle{ (q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Rightarrow r)}\)
\(\displaystyle{ \neg ((q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Rightarrow r))}\)
\(\displaystyle{ \neg ((q \wedge r) \Rightarrow ( \neg p) \vee (q \Rightarrow r))\vee \neg (( \neg p) \vee (q \Rightarrow r) \Rightarrow (q \wedge r))}\)
\(\displaystyle{ [(q \wedge r) \wedge \neg (( \neg p) \vee (q \Rightarrow r))] \vee [( \neg p) \vee (q \Rightarrow r) \wedge \neg (q \wedge r)]}\)
\(\displaystyle{ [(q \wedge r) \wedge (p \wedge (q \wedge r)] \vee [( \neg p) \vee (q \Rightarrow r) \wedge (q \vee r)]}\)

Czy teraz jest dobrze?

Launch_Bella pisze: ↑10 lis 2022, o 10:22 Ten przykład sprawia mi najwięcej trudności, do tego wszystko pomieszałam, wstawiłam złe znaki już na początku ..., więc jeszcze raz:
\(\displaystyle{ (q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Rightarrow r)}\)

No ale teraz masz źle od początku, bo rozwiązujesz inne zadanie. Przecież w pierwszym poście było

\(\displaystyle{ (q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q\, \red{ \Leftrightarrow }\, r)}\)

JK

Mam kolejne wątpliwości, bo już mi się wszystko miesza. Czy to jest dobrze zrobione?:

\(\displaystyle{ a)(p \wedge q) \Rightarrow (p \vee \neg q)}\)
\(\displaystyle{ \neg ((p \wedge q) \Rightarrow (p \vee \neg q))}\)
\(\displaystyle{ (p \wedge q) \wedge \neg (p \vee \neg q)}\)
\(\displaystyle{ (p \wedge q) \wedge ( \neg p \wedge q)}\)

\(\displaystyle{ b)[(p \wedge s) \Leftrightarrow ( \neg q)] \vee [(p \Rightarrow q) \wedge (r \Rightarrow s)]}\)
\(\displaystyle{ \neg [[(p \wedge s) \Leftrightarrow ( \neg q)] \vee [(p \Rightarrow q) \wedge (r \Rightarrow s)]]}\)
\(\displaystyle{ \neg [(p \wedge s) \Leftrightarrow ( \neg q)] \wedge \neg [(p \Rightarrow q) \wedge (r \Rightarrow s)]}\)
\(\displaystyle{ ((p \vee s) \Rightarrow q) \wedge ((p \wedge q) \vee (r \wedge s))}\)

\(\displaystyle{ c)p \Leftrightarrow q}\)
\(\displaystyle{ \neg (p \Leftrightarrow q)}\)
\(\displaystyle{ [ \neg (p \Rightarrow q)] \vee [ \neg (q \Rightarrow p)]}\)
\(\displaystyle{ (p \wedge ( \neg q)) \vee (q \wedge ( \neg p))}\)

\(\displaystyle{ d)p \Rightarrow (( \neg p) \vee q)}\)
\(\displaystyle{ \neg (p \Rightarrow (( \neg p) \vee q))}\)
\(\displaystyle{ p \wedge \neg (( \neg p) \vee q)}\)
\(\displaystyle{ p \wedge (p \wedge ( \neg q))}\)

\(\displaystyle{ e)(p \wedge ( \neg p)) \Rightarrow q}\)
\(\displaystyle{ \neg [(p \wedge ( \neg p)) \Rightarrow q]}\)
\(\displaystyle{ (p \wedge ( \neg p)) \wedge \neg q}\)

Dodano po 1 minucie 14 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑10 lis 2022, o 11:04

Launch_Bella pisze: ↑10 lis 2022, o 10:22 Ten przykład sprawia mi najwięcej trudności, do tego wszystko pomieszałam, wstawiłam złe znaki już na początku ..., więc jeszcze raz:
\(\displaystyle{ (q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q \Rightarrow r)}\)

No ale teraz masz źle od początku, bo rozwiązujesz inne zadanie. Przecież w pierwszym poście było

\(\displaystyle{ (q \wedge r) \Leftrightarrow ( \neg p) \vee (q\, \red{ \Leftrightarrow }\, r)}\)

JK

Tak, bo już na początku źle przepisałam zadanie, powinna być implikacja zamiast równoważności.