Matematyka.pl

O czym matematycy nie wiedzą?

Weźmy fragment z sąsiedniego tematu:
logika-f100/podaj-negacje-podanych-wyra ... l#p5649356

Launch_Bella pisze: ↑8 lis 2022, o 21:08 Mam problem z negacją implikacji i równoważności. Nie mam pewności czy dobrze używam praw, bo tylko te dwa poniżej mi pasują i nie jestem pewna czy wynik powinien właśnie tak wyglądać, czy coś jeszcze trzeba zrobić? Czy mógłby ktoś sprawdzić moje rozwiązania i pomóc mi zrozumieć, gdzie i dlaczego popełniam błąd?

\(\displaystyle{ a) p \vee (p \Rightarrow q)}\)
\(\displaystyle{ \neg (p \vee (p \Rightarrow q)}\)
\(\displaystyle{ [ \neg p \wedge \neg (p \Rightarrow q)]}\)
\(\displaystyle{ [ \neg p \wedge (p \wedge \neg q)]}\)
Zaprzeczenie implikacji

W świecie techniki (jestem przybyszem z tego świata) pojęcie funkcji logicznej jest doskonale znane.
Dowód: W powyższym linku znajdziemy bardzo dobrze opisany algorytm generowania z dowolnej tabeli zero-jedynkowej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Kanoniczna postać dysjunkcyjna - tworzenie
oraz algorytm generowania funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
Kanoniczna postać koniunkcyjna - tworzenie

Matematyk który będzie twierdził że funkcje logiczne algebry Boole'a to nie jest algebra Boole'a powinien natychmiast skreślić słówko "matematyk" sprzed swego nazwiska.
Zauważmy, że ziemski matematyk nie może się bronić twierdząc, iż w Klasycznym Rachunku Zdań nie ma pojęcia funkcji logicznej, bowiem formalnie KRZ jest nadzbiorem algebry Boole'a, gdzie pojęcie funkcji logicznej algebry Boole'a jest doskonale znane, czego dowód w linku wyżej.

Przechodząc do meritum.
O czym matematycy nie wiedzą?

Matematycy nie wiedzą iż dowolną funkcję logiczną \(\displaystyle{ Y}\) można dwustronnie zanegować a tym samym nie znają matematycznej relacji między funkcją logiczną niezanegowaną (bo \(\displaystyle{ Y}\)) a funkcją logiczną zanegowaną (bo \(\displaystyle{ \neg Y}\)).

Zobaczmy to na przykładzie pierwszej linijki z cytatu, zapisując ją w postaci funkcji logicznej \(\displaystyle{ Y(p,q)}\):
\(\displaystyle{ Y(p,q)= p \vee (p \Rightarrow q)}\)
#
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie (to nam wolno, o czym matematycy nie wiedzą):
\(\displaystyle{ \neg Y(p,q)= \neg (p \vee (p \Rightarrow q))}\)

Gdzie:
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Podsumowując:
Znaczek różne # w odniesieniu do funkcji logicznych to kluczowy znaczek logiki matematycznej, którego matematycy nie znają.
c.n.d.

Nie bardzo rozumiem co rozumiesz przez negację dwustronną

zaneguj mi np. to.:

\(\displaystyle{ p \vee q}\)

Najpierw jednostronnie a potem dwustronnie wtedy może zobaczę różnicę...

Różnicę pokaże ci na przykładzie z przedszkola.
Przechodzę na notację ze świata techniki, gdzie zachodzi tożsamość znaczków
\(\displaystyle{ \vee = +}\)
\(\displaystyle{ \wedge = * }\)

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ K}\)) lub do teatru (\(\displaystyle{ T}\))
\(\displaystyle{ Y = K+T}\)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (\(\displaystyle{ Y}\)) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ K}\)) lub do teatru (\(\displaystyle{ T}\))
\(\displaystyle{ Y = K+T}\)
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma sowa (\(\displaystyle{ Y}\)).

Stąd mamy odpowiedź na pytanie kiedy jutro pani dotrzyma słowa (\(\displaystyle{ Y}\)) w zdarzeniach rozłącznych:
\(\displaystyle{ 1": Y = A: K*T + B: K* \neg T + C: \neg K*T}\)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (\(\displaystyle{ Y}\)) wtedy i tylko wtedy gdy:
\(\displaystyle{ A: K*T=1*1=1 }\)- jutro pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ K}\)) i pójdziemy do teatru (\(\displaystyle{ T}\))
lub
\(\displaystyle{ B: K* \neg T=1*1=1}\) - jutro pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ K}\)) i nie pójdziemy do teatru (\(\displaystyle{ \neg T}\))
lub
\(\displaystyle{ C: \neg K*T =1*1=1}\) - jutro nie pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ \neg K}\)) i pójdziemy do teatru (\(\displaystyle{ T}\))

Zdarzenia A, B i C to zdarzenia rozłączne które mogą zajść jutro.
Oczywiście jutro może zajść tylko i wyłącznie jedno ze zdarzeń rozłącznych A, B albo C
Łatwo udowodnić tożsamość funkcji logicznych:
\(\displaystyle{ 1: Y=K+T = 1": Y = A: K*T + B: K* \neg T + C: \neg K*T}\)
Dowód:
Przechodzę na zapis formalny, niezależny od przykładu:
\(\displaystyle{ p+q = p*q + p* \neg q + \neg p*q}\)
minimalizujemy prawą stronę:
\(\displaystyle{ Y = p*q + p* \neg q + \neg p*q}\)
\(\displaystyle{ Y = p*(q+ \neg q) + ~p*q}\)
wyciągnięcie zmiennej \(\displaystyle{ p}\) przed nawias
\(\displaystyle{ Y = p+( \neg p*q) }\)
bo \(\displaystyle{ q+ \neg q=1}\) i \(\displaystyle{ 1*x=x}\)
Przejście do logiki ujemnej (bo \(\displaystyle{ \neg Y}\)) poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
\(\displaystyle{ \neg Y = \neg p*(p+ \neg q)}\)
\(\displaystyle{ \neg Y = \neg p*p + \neg p* \neg q}\)
\(\displaystyle{ \neg Y = \neg p* \neg q}\)
Powrót do logiki dodatniej (bo \(\displaystyle{ Y}\)) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
\(\displaystyle{ Y=p+q}\)
Stąd mamy dowód zachodzącej tożsamości logicznej:
\(\displaystyle{ 1: Y=K+T = 1": Y = A: K*T + B: K* \neg T + C: \neg K*T}\)
c.n.d

… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (\(\displaystyle{ \neg Y}\))?

Negujemy funkcję logiczną 1 dwustronnie:
\(\displaystyle{ \neg Y = \neg (K+T) = \neg K* \neg T}\) - prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
\(\displaystyle{ \neg Y = \neg K* \neg T}\)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa ( \(\displaystyle{ \neg Y}\)) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ \neg K)}\) i nie pójdziemy do teatru ( \(\displaystyle{ \neg T}\))
\(\displaystyle{ \neg Y = \neg K* \neg T}\)

Kluczowe jest tu znaczenie funkcji logicznej \(\displaystyle{ Y}\):
\(\displaystyle{ Y}\) - pani dotrzyma słowa (bo \(\displaystyle{ Y}\))
\(\displaystyle{ \neg Y}\) - pani nie dotrzyma słowa (bo \(\displaystyle{ \neg Y}\))

rafal3006 pisze: ↑11 lis 2022, o 13:30Zobaczmy to na przykładzie pierwszej linijki z cytatu, zapisując ją w postaci funkcji logicznej \(\displaystyle{ Y(p,q)}\):
\(\displaystyle{ Y(p,q)= p \vee (p \Rightarrow q)}\)
#
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie (to nam wolno, o czym matematycy nie wiedzą):
\(\displaystyle{ \neg Y(p,q)= \neg (p \vee (p \Rightarrow q))}\)

Gdzie:
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Podsumowując:
Znaczek różne # w odniesieniu do funkcji logicznych to kluczowy znaczek logiki matematycznej, którego matematycy nie znają.

Ciekawe, skąd wiesz, co matematycy wiedzą, a czego nie, ale może lepiej pozostań w świecie techniki, zamiast uparcie prezentować oczywistości jako prawdy objawione.

JK

No właśnie to prawda bo ja o tym jak się zaprzecza koniunkcję zdań alternatywę czy implikację wiem od pewnego czasu jako wolontariusz na tym forum, J.K. też o tym wie dobrze , paru innych też tu się znajdzie co to wiedzą, ale dalej nie wiem co chciałeś powiedzieć przez to czym jest negacja obustronna a czym jest jednostronna. Bo idąc za ciosem tych negacji się namnożyło do trzech:

- lewostronna

- prawostronna

- obustronna

podobnie jak z granicą funkcji

"Negacja obustronna" polega na dopisaniu do obu stron negacji...

JK

Matematyk który będzie twierdził że funkcje logiczne algebry Boole'a to nie jest algebra Boole'a powinien natychmiast skreślić słówko "matematyk" sprzed swego nazwiska.

Mocne zdanie, podejrzewam, że po przeczytaniu tego sporo forumowiczów popełni seppuku...

Dodano po 2 minutach :
\(\displaystyle{ \neg p \neg }\) - czy to jest więc negacja obustronna?

lewostronna:

\(\displaystyle{ \neg p}\)

lub prawostronna:

\(\displaystyle{ p \neg }\)

Czym one się różnią...

Dodano po 17 minutach 48 sekundach:
A może to jest to samo

Jan Kraszewski pisze: ↑11 lis 2022, o 18:58 "Negacja obustronna" polega na dopisaniu do obu stron negacji...
JK

Zgadza się, dokładnie o to chodzi.
Dla uproszczenia mojego dalszego wyjaśnienia weźmy funkcję logiczną jednej zmiennej binarnej, co jest bez znaczenia.

Pani w przedszkolu \(\displaystyle{ A}\) mówi:
\(\displaystyle{ A1.}\)
Jutro pójdziemy do kina
\(\displaystyle{ Y=K}\)
co w logice jedynek oznacza:
\(\displaystyle{ Y=1 \Leftrightarrow K=1}\)
Czytamy:
Prawdą jest (\(\displaystyle{ =1}\)), że pani dotrzyma słowa (\(\displaystyle{ Y}\)) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ K=1}\))

.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa ( \(\displaystyle{ \neg Y}\))?

Negujemy równanie \(\displaystyle{ A1}\) stronami:
\(\displaystyle{ A2.}\)
\(\displaystyle{ \neg Y= \neg K}\)
co w logice jedynek oznacza:
\(\displaystyle{ \neg Y=1 \Leftrightarrow \neg K=1}\)
Czytamy:
Prawdą jest (\(\displaystyle{ =1}\)), że pani nie dotrzyma słowa (\(\displaystyle{ \neg Y}\)) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina ( \(\displaystyle{ \neg K=1}\))

Pani w przedszkolu \(\displaystyle{ B}\) mówi:
\(\displaystyle{ B1.}\)
Jutro nie pójdziemy do kina
\(\displaystyle{ Y= \neg K}\)
co w logice jedynek oznacza:
\(\displaystyle{ Y=1 \Leftrightarrow \neg K=1}\)
Czytamy:
Prawdą jest (\(\displaystyle{ =1}\)), że pani dotrzyma słowa (\(\displaystyle{ Y}\)) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ \neg K=1}\))

… a kiedy pani nie dotrzyma słowa ( \(\displaystyle{ \neg Y}\))?

Negujemy równanie \(\displaystyle{ B1}\) stronami:
\(\displaystyle{ B2.}\)
\(\displaystyle{ \neg Y=K}\)
co w logice jedynek oznacza:
\(\displaystyle{ \neg Y=1 \Leftrightarrow K=1}\)
Czytamy:
Prawdą jest (\(\displaystyle{ =1}\)), że pani nie dotrzyma słowa (\(\displaystyle{ \neg Y}\)) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (\(\displaystyle{ K=1}\))

Znaczenie funkcji logicznej w przedszkolu \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest identyczne:
\(\displaystyle{ Y}\) - pani dotrzyma słowa (bo \(\displaystyle{ Y}\))
\(\displaystyle{ \neg Y}\) - pani nie dotrzyma słowa (bo \(\displaystyle{ \neg Y}\))

Porównanie zdań z przedszkola \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)

Przedszkole \(\displaystyle{ A}\):
\(\displaystyle{ A1: Y=K}\) # \(\displaystyle{ A2: \neg Y= \neg K}\)
##
Przedszkole \(\displaystyle{ B}\):
\(\displaystyle{ B1: Y= \neg K}\) # \(\displaystyle{ B2: \neg Y=K}\)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
## - funkcje różne na mocy definicji

Definicje wprowadzonych znaczków.

Definicja znaczka rożne #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne \(\displaystyle{ Y}\) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

Doskonale widać, że w dialogi w przedszkolu \(\displaystyle{ A}\) oraz w przedszkolu \(\displaystyle{ B}\) są różne na mocy definicji ##
Innymi słowy:
W dialogach z przedszkola \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Jeśli w dialogach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) nie uwzględnimy funkcji logicznych \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ \neg Y}\) to kluczowy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## zostanie zgwałcony, bo wtedy będzie:
\(\displaystyle{ A1: K = B2: K}\)
oraz:
\(\displaystyle{ B1: \neg K = A2: \neg K}\)
c.n.d.

Wniosek:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy, który operuje wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole'a, czyli wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznych \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ \neg Y}\) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych
c.n.d.

rafal3006 pisze: ↑11 lis 2022, o 19:53Wniosek:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy, który operuje wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole'a, czyli wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznych \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ \neg Y}\) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych
c.n.d.

Taaak, zdecydowanie powinieneś pozostać w świecie techniki. Może tam spotkasz się ze zrozumieniem.

JK

Próbowałem wyżej wyjaśnić, iż język potoczny 5-cio latków da się doskonale opisać logiką matematyczną.
Cóż, przykro mi, że nikt mnie nie rozumie ...

I nam jest przykro. A temat uważam za wyczerpany.

JK