Przedstawię teraz dogłęnbne rozwiązanie tego zadania (może nie do końca formalne, ale dokładnie wyjaśnię te równoważności).Rozważmy model \(\displaystyle{ \displaystyle M}\), którego dziedziną będą wszytkie punkty, odcinki i okręgi płaszyczny, oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem \(\displaystyle{ \text{p},}\) który przyjmuje wartość prawdy jeśli jego argumenty mają przynajmniej jeden punkt wspólny. Napisz formuły które w modelu \(\displaystyle{ \displaystyle M}\) są równoważne następującym zdaniom (w kolejnych formułach można wykorzystywać skróty dla formuł zdefiniowanych wcześniej):
\(\displaystyle{ 1. \ \text {x} \hbox{ jest równe } \text{y}, \\
2. \ \text{x} \hbox{ jest nadzbiorem } \text{y}, \\
3. \ \text{x} \hbox{ jest punktem }, \\
4. \ \text{x} \hbox{ jest odcinkiem } , \\
5. \ \text{x} \hbox{ jest okręgiem }, \\
6. \ \text {x} \hbox{ jest równoległe do } \text {y}, \\
7. \ \text {x} \hbox{ i } \text {y} \hbox{ mają dokładnie jeden punkt wspólny,} \\
8. \ \hbox { okręgi }\text {x} \hbox{ i }\text {y} \hbox { są do siebie styczne,} \\
9. \ \hbox{okręgi } \text{x} \hbox{ i } \text {y} \hbox{ są do siebie wewnętrznie styczne i okrąg } \text {x} \hbox{ jest okręgiem wewnętrznym,} \\
10. \ \hbox{okręgi }\ \text {x}\hbox { i } \text{y} \hbox { są do siebie zewnętrznie styczne,} \\
11. \ \hbox{punkt } \text{x} \hbox{ jest końcem odcinka } \text{y}, \\
12. \ \hbox{odcinek } \text{x} \hbox{ jest styczny do okręgu } \text {y}, \\
13. \ \hbox{ okręgi } \text {x} \hbox{ i } \text {y} \hbox{ mają taką samą średnicę,} \\
14. \ \hbox{okrąg } \text{x} \hbox{ ma średnicę mniejszą niż okrąg } \text{y}.}\)
\(\displaystyle{ 1. \ x=y.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x \neq y}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ z}\) który należy do jednego obiektu i nie należy do drugiego, a więc wtedy ten punkt ( a dokładniej zbiór jednopunktowy \(\displaystyle{ \left\{ z\right\}}\) ) ma punkt wspólny z pierwszym obiektem i nie ma punktu wspólnego z drugim obiektem (bo tym punktem wspólnym musiałby być ten punkt \(\displaystyle{ z}\), który nie należy do drugiego obiektu.)
A zatem, jeśli \(\displaystyle{ x \neq y}\), to istnieje figura w modelu \(\displaystyle{ M}\), która ma punkt wspólny z pierwszym obiektem spośród \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) (niekoniecznie musi to być \(\displaystyle{ x}\), może to być też \(\displaystyle{ y}\), tylko trzeba ustalić o który to obiekt tu chodzi, o jeden z nich ), a nie ma punktu wspólnego z drugim obiektem.
A jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to niewątpliwie dla każdej figury \(\displaystyle{ z}\) w modelu \(\displaystyle{ M}\), wtedy figura \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z obiektem \(\displaystyle{ x,}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ y}\).
A zatem:
\(\displaystyle{ x=y \Longleftrightarrow}\) dla każdej figury \(\displaystyle{ z}\): \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ x}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ y.}\)
\(\displaystyle{ 2. \ x\supset y.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x\not\supset y}\), wtedy, z definicji zawierania zbiorów, wtedy istnieje punkt \(\displaystyle{ z \in y}\), taki, że \(\displaystyle{ z\not \in x}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left\{ z\right\} }\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ y}\), a \(\displaystyle{ \left\{ z\right\}}\) nie ma punktu wspólnego z figurą \(\displaystyle{ x}\) (bo \(\displaystyle{ z\not \in x}\)).
A jeśli \(\displaystyle{ y \subset x}\), to niewątpliwie: dla każdej figury \(\displaystyle{ z}\) w modelu \(\displaystyle{ M,}\) jeśli \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ y}\), to \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ x.}\)
Oto ilustracja tego faktu:\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)3. \(\displaystyle{ x}\) jest punktem.
Możemy ogólniej, trochę w oderwaniu od tego zadania powiedzieć, że punkt (a dokładniej jednopunktowy podzbiór płaszczyzny), to dokładnie taka niepusta figura \(\displaystyle{ S \subset \RR ^{2 }}\), że jeśli dwie figury \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) mają punkt wspólny z \(\displaystyle{ S}\), to \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) mają punkt wspólny z sobą, gdyż:
Jeśli mamy punkt \(\displaystyle{ x}\), to jeśli dwie figury \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) mają punkt wspólny ze zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} }\), to zawierają ten punkt \(\displaystyle{ x}\), a więc niewątpliwie mają punkt wspólny z sobą.
Jeśli mamy niepustą figurę \(\displaystyle{ S \subset \RR ^{2}}\), która nie jest punktem (a dokładniej nie jest zbiorem jednopunktowym ), to należy pokazać, że jeśli dwie figury \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) mają punkt wspólny z \(\displaystyle{ S}\), to figury \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) nie muszą mieć punktu wspólnego z sobą.
Ale jeśli mamy niepustą figurę \(\displaystyle{ S \subset \RR^2}\), która nie jest zbiorem jednopunktowym, to istnieją dwa różne punkty \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in S.}\) Wtedy, rysujemy dwa odcinki pionowe przechodzące odpowiednio przez punkty \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2,}\) nazwijmy je \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\). Wtedy odcinek \(\displaystyle{ S_1}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ x_1}\), a więc odcinek \(\displaystyle{ S_1}\) ma punkt wspólny z \(\displaystyle{ S,}\) podobnie odcinek \(\displaystyle{ S_2}\) ma punkt wspólny z \(\displaystyle{ S}\), a odcinki są równoległe, czyli nie mają punktu wspólnego z sobą.
Pozostaje rozważyć jeszcze przypadek, gdy punkty \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) leżą na tej samej prostej pionowej. Ale wtedy, ponieważ punkty \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) są różne, więc rysujemy dwa odcinki pionowe \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\), przechodzące przez odpowiednie punkty \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\), ale na tyle krótkie, aby się nie przecinały. Wtedy odcinek \(\displaystyle{ S_1}\) ma punkt wspólny z \(\displaystyle{ S}\) (jest nim punkt \(\displaystyle{ x_1}\)), podobnie \(\displaystyle{ x_2}\) jest punktem wspólnym figury \(\displaystyle{ S_2}\) z figurą \(\displaystyle{ S}\), a odcinki \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) nie przecinają się, czyli nie mają punktu wspólnego z sobą.
Wobec czego:
\(\displaystyle{ \left\{ \bullet\right\} \equiv \left\{ \right\} \neq S:= \left\{ \bullet\right\} \subset \RR ^{2} : \hbox{ jeśli figury } S_1, S_2 \subset \RR^2 \hbox{ mają punkt wspólny z }S, \hbox{ to } S_1\hbox{ i } S_2 \hbox{ mają punkt wspólny z sobą.} }\)
Oto ilustracja tego faktu:\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
4. \(\displaystyle{ x}\) jest odcinkiem.
Jeśli \(\displaystyle{ x}\) nie jest punktem, to \(\displaystyle{ x}\) jest odcinkiem lub \(\displaystyle{ x}\) jest okręgiem (gdyż w naszym modelu \(\displaystyle{ M}\) rozważamy tylko punkty, odcinki i okręgi płaszczyzny ). Ale odcinki mogą mieć istotne nadzbiory ( dokładniej, dla każdego odcinka możemy utworzyć dłuższy odcinek, który go zawiera), a okrąg nie może mieć istotnych nadzbiorów ( w naszym modelu \(\displaystyle{ M}\), gdyż dodając do okręgu punkty nie otrzymamy oczywiście ani punktu, ani odcinka ani okręgu ).
Wobec czego :\(\displaystyle{ x}\) jest odcinkiem, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x }\) nie jest punktem i \(\displaystyle{ x}\) ma istotny nadzbiór, tzn. (ten ostatni warunek) oznacza że:
\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{y} \left( y\supset x \wedge y \neq x\right).}\)
\(\displaystyle{ 6.}\) Odcinek \(\displaystyle{ x}\) jest równoległy do odcinka \(\displaystyle{ y.}\)
Wtedy dowolne przedłużenia tych odpowiednich odcinków nie przecinają się lub te dane odcinki mają wspólne przedłużenie. Oto:
ILUSTRACJA TEGO FAKTU:
\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) A jeśli odcinek \(\displaystyle{ x}\) nie jest równoległy do odcinka \(\displaystyle{ y}\), wtedy oczywiście można przedłużyć te odcinki, tak, aby się przecięły; i nie mają wspólnego przedłużenia (zakładając, że każda prosta jest równoległa do siebie samej).
Wobec czego: odcinek \(\displaystyle{ x}\) jest równoległy do odcinka \(\displaystyle{ y}\), gdy dowolne nadzbiory tych odpowiednich odcinków nie mają punktów wspólnych lub gdy istnieje wspólny nadzbiór odcinka \(\displaystyle{ x}\) i odcinka \(\displaystyle{ y. }\)
\(\displaystyle{ 9.}\) (Opuściłem niektóre podpunkty jako zadania proste i mniej ciekawe). Okręgi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są do siebie wewnętrznie styczne i okrąg \(\displaystyle{ x}\) jest okręgiem wewnętrznym.
Jeśli okrąg \(\displaystyle{ x}\) jest wewnętrzny, to każdy odcinek, który ma z nim punkt wspólny da się przedłużyć tak, aby przecinał okrąg \(\displaystyle{ y}\). Oto:
ILUSTRACJA TEJ CIEKAWEJ OBSERWACJI:
\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
A zatem okręgi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są wewnętrznie styczne i \(\displaystyle{ x}\) jest okręgiem wewnętrznym, gdy: dla każdego odcinka, który ma punkt wspólny z okręgiem \(\displaystyle{ x}\) istnieje nadzbiór tego odcinka mający punkt wspólny z okręgiem \(\displaystyle{ y.}\)
\(\displaystyle{ 10.}\) Okręgi są zewnętrznie styczne.
Okręgi muszą być styczne i żaden z nich nie może być wewnętrzny.
\(\displaystyle{ 11.}\) Punkt \(\displaystyle{ x}\) jest końcem odcinka \(\displaystyle{ y.}\)
(Jest to chyba najciekawszy podpunkt).
Wtedy na odcinku \(\displaystyle{ y}\) można zbudować okrąg, jako na średnicy. Wtedy ten okrąg przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ x}\), i wtedy każdy okrąg styczny do niego w punkcie \(\displaystyle{ x,}\) jeśli jest zewnętrzny, to ma dokładnie jeden punkt wspólny z odcinkiem, a jeśli jest wewnętrzny, to ma dokładnie dwa punkty wspólne. Oto:
ILUSRACJA TEGO BARDZO CIEKAWEGO FAKTU: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
A zatem, uogólniając: istnieje okrąg przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ x}\), taki, że każdy okrąg styczny do niego w punkcie \(\displaystyle{ x}\), jeśli jest zewnętrzny, to ma dokładnie jeden punkt wspólny z odcinkiem \(\displaystyle{ y}\), a jeśli jest wewnętrzny, to ma dokładnie dwa punkty wspólne z odcinkiem \(\displaystyle{ y.}\)
Jeśli punkt \(\displaystyle{ x}\) nie jest końcem odcinka \(\displaystyle{ y}\), to nie zachodzi ta własność.
Jeśli punkt \(\displaystyle{ x}\) leży poza odcinkiem, to (ale na tym wczoraj zjadłem zęby, próbując dogłębnie to rozstrzygnąć, wyszło co najmniej \(\displaystyle{ 6}\) przypadków, wcześniej ich nie sprawdziłem, teraz już tak, ale zachwiałem się tutaj , ciekawe czy autorzy ważniaka dokładnie to przemyśleli ); więc powiem tylko tyle, że pokazałem (ale nie jestem tego pewien), że dla dowolnego okręgu przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ x}\) (tu się pojawia te sześć przypadków) można dobrać do niego okrąg styczny zewnętrznie do niego w punkcie \(\displaystyle{ x}\) nie mający punktów wspólnych z odcinkiem \(\displaystyle{ y}\), ale tego nie jestem pewien (ciekawe, czy autorzy ważniaka zbadali to dokładnie, czy może tylko pobieżnie ).
Jeśli punkt \(\displaystyle{ x}\) leży w środku odcinka \(\displaystyle{ y}\), to pokazałem (tego też nie jestem pewien), że dla dowolnego okręgu przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ x}\) (tu pojawia się kilka przypadków) można dobrać okrąg styczny zewnętrznie do niego w punkcie \(\displaystyle{ x,}\) mający dokładnie dwa punkty wspólne z naszym odcinkiem (ale tego też nie jestem pewien).
Wobec czego:
punkt \(\displaystyle{ x}\) jest końcem odcinka \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow}\) istnieje okrąg przechodzący przez \(\displaystyle{ x}\), taki, że każdy okrąg styczny do niego w punkcie \(\displaystyle{ x}\), jeśli jest zewnętrzny, to ma dokładnie jeden punkt wspólny z odcinkiem \(\displaystyle{ y}\), a jeśli jest wewnętrzny, to ma dokładnie dwa punkty wspólne z tym odcinkiem.
\(\displaystyle{ 12.}\) Odcinek \(\displaystyle{ x}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ y.}\)
Wtedy każde przedłużenie odcinka \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z tym okręgiem.
Oto ilustracja tego ciekawego faktu: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)\(\displaystyle{ 13.}\) Okręgi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mają taką samą średnicę.
Wtedy można narysować dwie proste:\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\) Wtedy istnieją dwa równoległe odcinki, styczne do obu okręgów, które nie mają punktów wspólnych.
\(\displaystyle{ 14.}\) Okrąg \(\displaystyle{ x}\) ma średnicę mniejszą niż okrąg \(\displaystyle{ y.}\)
Wtedy, możliwe są dwa przypadki:
\(\displaystyle{ 1.}\) Ten przypadek przedstawia ilustracja:\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Wtedy istnieją dwa równoległe odcinki, nie mające punktów wspólnych, gdzie pierwszy z nich jest styczny do obu okręgów,. a drugi jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ x}\), i przecina okrąg \(\displaystyle{ y}\) w dwóch różnych punktach.
\(\displaystyle{ 2.}\) Okrąg \(\displaystyle{ x}\) jest wewnątrz okręgu \(\displaystyle{ y.}\)
Wtedy te okręgi nie mają punktów wspólnych, i żaden odcinek styczny do większego okręgu \(\displaystyle{ y}\) nie przecina okręgu \(\displaystyle{ x}\). Oto ilustracja tej ciekawej obserwacji: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)Zdaje sobie sprawę, że jednak nie pokazałem dokładnie tych wszystkich równoważności, niestety, to zadanie mnie trochę przerosło. Zastanawia mnie, czy autorzy ważniaka dobrze przemyśleli to zadanie (pojęciowo , nie formalnie). A formalne formuły są na ważniaku TUTAJ, POD KONIEC STRONY, ja nie przepadam za formalizacją, więc darowałem sobie zapisywanie takich formuł.
Na koniec dodam taki ciekawy fakt, który ostatnio wyczytałem we "Wstępie do matematyki" Heleny Rasiowej:
Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\).
Jeśli \(\displaystyle{ A \cap B=X}\), to \(\displaystyle{ A=B=X.}\)
PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:
(No bo \(\displaystyle{ X=A \cap B \subset A,B}\), a zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B }\) są to podzbiory zbioru \(\displaystyle{ X}\), a zatem \(\displaystyle{ A= X=B).\square}\)
Oto ilustracja tego faktu, przy pomocy precyzyjnych diagramów Venna:\(\displaystyle{ \\}\) Skoro \(\displaystyle{ A \cap B=X}\), a zatem, ponieważ nie ma elementu zbioru \(\displaystyle{ X}\) spoza \(\displaystyle{ A \cap B=X}\), a zatem pozostałą część diagramu zakreskowujemy (jako puste obszary), i widzimy wtedy, że \(\displaystyle{ A=A \cap B= B}\), ale \(\displaystyle{ A \cap B= X}\), wobec czego \(\displaystyle{ A= X =B}\).
I tak, podstawy matematyki dalej mnie kręcą- książka "Błaszczyk. Turek. Teoria Mnogości" jest zupełnie nieciekawa, a podstawy matematyki są jednak najlepsze, zbiory ogólne.