Modele- punkty, odcinki, i okręgi płaszczyzny

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Modele- punkty, odcinki, i okręgi płaszczyzny

Post autor: Jakub Gurak »

Jest takie zadanie z ważniaka (które to zadanie rozwiązałem już kilka lat temu, ale nie pisałem o tym na forum):
Rozważmy model \(\displaystyle{ \displaystyle M}\), którego dziedziną będą wszytkie punkty, odcinki i okręgi płaszyczny, oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem \(\displaystyle{ \text{p},}\) który przyjmuje wartość prawdy jeśli jego argumenty mają przynajmniej jeden punkt wspólny. Napisz formuły które w modelu \(\displaystyle{ \displaystyle M}\) są równoważne następującym zdaniom (w kolejnych formułach można wykorzystywać skróty dla formuł zdefiniowanych wcześniej):

\(\displaystyle{ 1. \ \text {x} \hbox{ jest równe } \text{y}, \\
2. \ \text{x} \hbox{ jest nadzbiorem } \text{y}, \\
3. \ \text{x} \hbox{ jest punktem }, \\
4. \ \text{x} \hbox{ jest odcinkiem } , \\
5. \ \text{x} \hbox{ jest okręgiem }, \\
6. \ \text {x} \hbox{ jest równoległe do } \text {y}, \\
7. \ \text {x} \hbox{ i } \text {y} \hbox{ mają dokładnie jeden punkt wspólny,} \\
8. \ \hbox { okręgi }\text {x} \hbox{ i }\text {y} \hbox { są do siebie styczne,} \\
9. \ \hbox{okręgi } \text{x} \hbox{ i } \text {y} \hbox{ są do siebie wewnętrznie styczne i okrąg } \text {x} \hbox{ jest okręgiem wewnętrznym,} \\
10. \ \hbox{okręgi }\ \text {x}\hbox { i } \text{y} \hbox { są do siebie zewnętrznie styczne,} \\
11. \ \hbox{punkt } \text{x} \hbox{ jest końcem odcinka } \text{y}, \\
12. \ \hbox{odcinek } \text{x} \hbox{ jest styczny do okręgu } \text {y}, \\
13. \ \hbox{ okręgi } \text {x} \hbox{ i } \text {y} \hbox{ mają taką samą średnicę,} \\
14. \ \hbox{okrąg } \text{x} \hbox{ ma średnicę mniejszą niż okrąg } \text{y}.}\)
Przedstawię teraz dogłęnbne rozwiązanie tego zadania (może nie do końca formalne, ale dokładnie wyjaśnię te równoważności).

\(\displaystyle{ 1. \ x=y.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x \neq y}\), to istnieje punkt \(\displaystyle{ z}\) który należy do jednego obiektu i nie należy do drugiego, a więc wtedy ten punkt ( a dokładniej zbiór jednopunktowy \(\displaystyle{ \left\{ z\right\}}\) ) ma punkt wspólny z pierwszym obiektem i nie ma punktu wspólnego z drugim obiektem (bo tym punktem wspólnym musiałby być ten punkt \(\displaystyle{ z}\), który nie należy do drugiego obiektu.)

A zatem, jeśli \(\displaystyle{ x \neq y}\), to istnieje figura w modelu \(\displaystyle{ M}\), która ma punkt wspólny z pierwszym obiektem spośród \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) (niekoniecznie musi to być \(\displaystyle{ x}\), może to być też \(\displaystyle{ y}\), tylko trzeba ustalić o który to obiekt tu chodzi, o jeden z nich ), a nie ma punktu wspólnego z drugim obiektem.

A jeśli \(\displaystyle{ x=y}\), to niewątpliwie dla każdej figury \(\displaystyle{ z}\) w modelu \(\displaystyle{ M}\), wtedy figura \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z obiektem \(\displaystyle{ x,}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ y}\).

A zatem:

\(\displaystyle{ x=y \Longleftrightarrow}\) dla każdej figury \(\displaystyle{ z}\): \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ x}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ y.}\)

\(\displaystyle{ 2. \ x\supset y.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x\not\supset y}\), wtedy, z definicji zawierania zbiorów, wtedy istnieje punkt \(\displaystyle{ z \in y}\), taki, że \(\displaystyle{ z\not \in x}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left\{ z\right\} }\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ y}\), a \(\displaystyle{ \left\{ z\right\}}\) nie ma punktu wspólnego z figurą \(\displaystyle{ x}\) (bo \(\displaystyle{ z\not \in x}\)).

A jeśli \(\displaystyle{ y \subset x}\), to niewątpliwie: dla każdej figury \(\displaystyle{ z}\) w modelu \(\displaystyle{ M,}\) jeśli \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ y}\), to \(\displaystyle{ z}\) ma punkt wspólny z figurą \(\displaystyle{ x.}\)

Oto ilustracja tego faktu:\(\displaystyle{ \\}\)
Inkluzja i punkty wspólne- modele punkty, odcinki i okregi płaszczyzny  .jpg
\(\displaystyle{ \\}\)3. \(\displaystyle{ x}\) jest punktem.

Możemy ogólniej, trochę w oderwaniu od tego zadania powiedzieć, że punkt (a dokładniej jednopunktowy podzbiór płaszczyzny), to dokładnie taka niepusta figura \(\displaystyle{ S \subset \RR ^{2 }}\), że jeśli dwie figury \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) mają punkt wspólny z \(\displaystyle{ S}\), to \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) mają punkt wspólny z sobą, gdyż:

Jeśli mamy punkt \(\displaystyle{ x}\), to jeśli dwie figury \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) mają punkt wspólny ze zbiorem \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} }\), to zawierają ten punkt \(\displaystyle{ x}\), a więc niewątpliwie mają punkt wspólny z sobą.

Jeśli mamy niepustą figurę \(\displaystyle{ S \subset \RR ^{2}}\), która nie jest punktem (a dokładniej nie jest zbiorem jednopunktowym ), to należy pokazać, że jeśli dwie figury \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) mają punkt wspólny z \(\displaystyle{ S}\), to figury \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) nie muszą mieć punktu wspólnego z sobą.

Ale jeśli mamy niepustą figurę \(\displaystyle{ S \subset \RR^2}\), która nie jest zbiorem jednopunktowym, to istnieją dwa różne punkty \(\displaystyle{ x_1,x_2 \in S.}\) Wtedy, rysujemy dwa odcinki pionowe przechodzące odpowiednio przez punkty \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2,}\) nazwijmy je \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\). Wtedy odcinek \(\displaystyle{ S_1}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ x_1}\), a więc odcinek \(\displaystyle{ S_1}\) ma punkt wspólny z \(\displaystyle{ S,}\) podobnie odcinek \(\displaystyle{ S_2}\) ma punkt wspólny z \(\displaystyle{ S}\), a odcinki są równoległe, czyli nie mają punktu wspólnego z sobą.

Pozostaje rozważyć jeszcze przypadek, gdy punkty \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) leżą na tej samej prostej pionowej. Ale wtedy, ponieważ punkty \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) są różne, więc rysujemy dwa odcinki pionowe \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\), przechodzące przez odpowiednie punkty \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\), ale na tyle krótkie, aby się nie przecinały. Wtedy odcinek \(\displaystyle{ S_1}\) ma punkt wspólny z \(\displaystyle{ S}\) (jest nim punkt \(\displaystyle{ x_1}\)), podobnie \(\displaystyle{ x_2}\) jest punktem wspólnym figury \(\displaystyle{ S_2}\) z figurą \(\displaystyle{ S}\), a odcinki \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) nie przecinają się, czyli nie mają punktu wspólnego z sobą.

Wobec czego:

\(\displaystyle{ \left\{ \bullet\right\} \equiv \left\{ \right\} \neq S:= \left\{ \bullet\right\} \subset \RR ^{2} : \hbox{ jeśli figury } S_1, S_2 \subset \RR^2 \hbox{ mają punkt wspólny z }S, \hbox{ to } S_1\hbox{ i } S_2 \hbox{ mają punkt wspólny z sobą.} }\) 8-)

Oto ilustracja tego faktu:\(\displaystyle{ \\}\)
Definicja punktu .jpg
\(\displaystyle{ \\}\)
4. \(\displaystyle{ x}\) jest odcinkiem.

Jeśli \(\displaystyle{ x}\) nie jest punktem, to \(\displaystyle{ x}\) jest odcinkiem lub \(\displaystyle{ x}\) jest okręgiem (gdyż w naszym modelu \(\displaystyle{ M}\) rozważamy tylko punkty, odcinki i okręgi płaszczyzny ). Ale odcinki mogą mieć istotne nadzbiory ( dokładniej, dla każdego odcinka możemy utworzyć dłuższy odcinek, który go zawiera), a okrąg nie może mieć istotnych nadzbiorów ( w naszym modelu \(\displaystyle{ M}\), gdyż dodając do okręgu punkty nie otrzymamy oczywiście ani punktu, ani odcinka ani okręgu ).

Wobec czego :\(\displaystyle{ x}\) jest odcinkiem, wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x }\) nie jest punktem i \(\displaystyle{ x}\) ma istotny nadzbiór, tzn. (ten ostatni warunek) oznacza że:

\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{y} \left( y\supset x \wedge y \neq x\right).}\)

\(\displaystyle{ 6.}\) Odcinek \(\displaystyle{ x}\) jest równoległy do odcinka \(\displaystyle{ y.}\)

Wtedy dowolne przedłużenia tych odpowiednich odcinków nie przecinają się lub te dane odcinki mają wspólne przedłużenie. Oto:

ILUSTRACJA TEGO FAKTU:
\(\displaystyle{ \\}\)
Przedłużenia odcinków.jpg
\(\displaystyle{ \\}\) A jeśli odcinek \(\displaystyle{ x}\) nie jest równoległy do odcinka \(\displaystyle{ y}\), wtedy oczywiście można przedłużyć te odcinki, tak, aby się przecięły; i nie mają wspólnego przedłużenia (zakładając, że każda prosta jest równoległa do siebie samej).

Wobec czego: odcinek \(\displaystyle{ x}\) jest równoległy do odcinka \(\displaystyle{ y}\), gdy dowolne nadzbiory tych odpowiednich odcinków nie mają punktów wspólnych lub gdy istnieje wspólny nadzbiór odcinka \(\displaystyle{ x}\) i odcinka \(\displaystyle{ y. }\)

\(\displaystyle{ 9.}\) (Opuściłem niektóre podpunkty jako zadania proste i mniej ciekawe). Okręgi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są do siebie wewnętrznie styczne i okrąg \(\displaystyle{ x}\) jest okręgiem wewnętrznym.

Jeśli okrąg \(\displaystyle{ x}\) jest wewnętrzny, to każdy odcinek, który ma z nim punkt wspólny da się przedłużyć tak, aby przecinał okrąg \(\displaystyle{ y}\). Oto:

ILUSTRACJA TEJ CIEKAWEJ OBSERWACJI:
\(\displaystyle{ \\}\)
Okręgi styczne wewnętrznie.jpg
\(\displaystyle{ \\}\)
A zatem okręgi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są wewnętrznie styczne i \(\displaystyle{ x}\) jest okręgiem wewnętrznym, gdy: dla każdego odcinka, który ma punkt wspólny z okręgiem \(\displaystyle{ x}\) istnieje nadzbiór tego odcinka mający punkt wspólny z okręgiem \(\displaystyle{ y.}\)

\(\displaystyle{ 10.}\) Okręgi są zewnętrznie styczne.

Okręgi muszą być styczne i żaden z nich nie może być wewnętrzny.

\(\displaystyle{ 11.}\) Punkt \(\displaystyle{ x}\) jest końcem odcinka \(\displaystyle{ y.}\)
(Jest to chyba najciekawszy podpunkt).

Wtedy na odcinku \(\displaystyle{ y}\) można zbudować okrąg, jako na średnicy. Wtedy ten okrąg przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ x}\), i wtedy każdy okrąg styczny do niego w punkcie \(\displaystyle{ x,}\) jeśli jest zewnętrzny, to ma dokładnie jeden punkt wspólny z odcinkiem, a jeśli jest wewnętrzny, to ma dokładnie dwa punkty wspólne. Oto:

ILUSRACJA TEGO BARDZO CIEKAWEGO FAKTU: \(\displaystyle{ \\}\)
Okrąg na średnicy.jpg
\(\displaystyle{ \\}\)
A zatem, uogólniając: istnieje okrąg przechodzący przez punkt \(\displaystyle{ x}\), taki, że każdy okrąg styczny do niego w punkcie \(\displaystyle{ x}\), jeśli jest zewnętrzny, to ma dokładnie jeden punkt wspólny z odcinkiem \(\displaystyle{ y}\), a jeśli jest wewnętrzny, to ma dokładnie dwa punkty wspólne z odcinkiem \(\displaystyle{ y.}\)

Jeśli punkt \(\displaystyle{ x}\) nie jest końcem odcinka \(\displaystyle{ y}\), to nie zachodzi ta własność.

Jeśli punkt \(\displaystyle{ x}\) leży poza odcinkiem, to (ale na tym wczoraj zjadłem zęby, próbując dogłębnie to rozstrzygnąć, wyszło co najmniej \(\displaystyle{ 6}\) przypadków, wcześniej ich nie sprawdziłem, teraz już tak, ale zachwiałem się tutaj , ciekawe czy autorzy ważniaka dokładnie to przemyśleli :?: ); więc powiem tylko tyle, że pokazałem (ale nie jestem tego pewien), że dla dowolnego okręgu przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ x}\) (tu się pojawia te sześć przypadków) można dobrać do niego okrąg styczny zewnętrznie do niego w punkcie \(\displaystyle{ x}\) nie mający punktów wspólnych z odcinkiem \(\displaystyle{ y}\), ale tego nie jestem pewien (ciekawe, czy autorzy ważniaka zbadali to dokładnie, czy może tylko pobieżnie :?: ).

Jeśli punkt \(\displaystyle{ x}\) leży w środku odcinka \(\displaystyle{ y}\), to pokazałem (tego też nie jestem pewien), że dla dowolnego okręgu przechodzącego przez punkt \(\displaystyle{ x}\) (tu pojawia się kilka przypadków) można dobrać okrąg styczny zewnętrznie do niego w punkcie \(\displaystyle{ x,}\) mający dokładnie dwa punkty wspólne z naszym odcinkiem (ale tego też nie jestem pewien).

Wobec czego:

punkt \(\displaystyle{ x}\) jest końcem odcinka \(\displaystyle{ y}\), \(\displaystyle{ \Longleftrightarrow}\) istnieje okrąg przechodzący przez \(\displaystyle{ x}\), taki, że każdy okrąg styczny do niego w punkcie \(\displaystyle{ x}\), jeśli jest zewnętrzny, to ma dokładnie jeden punkt wspólny z odcinkiem \(\displaystyle{ y}\), a jeśli jest wewnętrzny, to ma dokładnie dwa punkty wspólne z tym odcinkiem.

\(\displaystyle{ 12.}\) Odcinek \(\displaystyle{ x}\) jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ y.}\)

Wtedy każde przedłużenie odcinka \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie jeden punkt wspólny z tym okręgiem.

Oto ilustracja tego ciekawego faktu: \(\displaystyle{ \\}\)
Odcinek styczny do okregu.jpg
\(\displaystyle{ \\}\)\(\displaystyle{ 13.}\) Okręgi \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) mają taką samą średnicę.

Wtedy można narysować dwie proste:\(\displaystyle{ \\}\)
Okręgi o tej samej średnicy.jpg
\(\displaystyle{ \\}\) Wtedy istnieją dwa równoległe odcinki, styczne do obu okręgów, które nie mają punktów wspólnych.

\(\displaystyle{ 14.}\) Okrąg \(\displaystyle{ x}\) ma średnicę mniejszą niż okrąg \(\displaystyle{ y.}\)

Wtedy, możliwe są dwa przypadki:

\(\displaystyle{ 1.}\) Ten przypadek przedstawia ilustracja:\(\displaystyle{ \\}\)
Okrąg o średnicy mniejszej niż drugi okrąg.jpg
\(\displaystyle{ \\}\)
Wtedy istnieją dwa równoległe odcinki, nie mające punktów wspólnych, gdzie pierwszy z nich jest styczny do obu okręgów,. a drugi jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ x}\), i przecina okrąg \(\displaystyle{ y}\) w dwóch różnych punktach.

\(\displaystyle{ 2.}\) Okrąg \(\displaystyle{ x}\) jest wewnątrz okręgu \(\displaystyle{ y.}\)

Wtedy te okręgi nie mają punktów wspólnych, i żaden odcinek styczny do większego okręgu \(\displaystyle{ y}\) nie przecina okręgu \(\displaystyle{ x}\). Oto ilustracja tej ciekawej obserwacji: \(\displaystyle{ \\}\)
Okrąg wewnątrz okręgu.jpg
\(\displaystyle{ \\}\)Zdaje sobie sprawę, że jednak nie pokazałem dokładnie tych wszystkich równoważności, niestety, to zadanie mnie trochę przerosło. Zastanawia mnie, czy autorzy ważniaka dobrze przemyśleli to zadanie (pojęciowo , nie formalnie). A formalne formuły są na ważniaku TUTAJ, POD KONIEC STRONY, ja nie przepadam za formalizacją, więc darowałem sobie zapisywanie takich formuł.


Na koniec dodam taki ciekawy fakt, który ostatnio wyczytałem we "Wstępie do matematyki" Heleny Rasiowej:

Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa podzbiory \(\displaystyle{ A,B \subset X}\).

Jeśli \(\displaystyle{ A \cap B=X}\), to \(\displaystyle{ A=B=X.}\)

PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:

(No bo \(\displaystyle{ X=A \cap B \subset A,B}\), a zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B }\) są to podzbiory zbioru \(\displaystyle{ X}\), a zatem \(\displaystyle{ A= X=B).\square}\)

Oto ilustracja tego faktu, przy pomocy precyzyjnych diagramów Venna:\(\displaystyle{ \\}\)
Przekrój dwóch zbiorów równy calemu zbiorowi X.jpg
Skoro \(\displaystyle{ A \cap B=X}\), a zatem, ponieważ nie ma elementu zbioru \(\displaystyle{ X}\) spoza \(\displaystyle{ A \cap B=X}\), a zatem pozostałą część diagramu zakreskowujemy (jako puste obszary), i widzimy wtedy, że \(\displaystyle{ A=A \cap B= B}\), ale \(\displaystyle{ A \cap B= X}\), wobec czego \(\displaystyle{ A= X =B}\). 8-)

I tak, podstawy matematyki dalej mnie kręcą- książka "Błaszczyk. Turek. Teoria Mnogości" jest zupełnie nieciekawa, a podstawy matematyki są jednak najlepsze, zbiory ogólne. 8-)
3a174ad9764fefcb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
Płeć: Mężczyzna
wiek: 40
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 41 razy

Re: Modele- punkty, odcinki, i okręgi płaszczyzny

Post autor: 3a174ad9764fefcb »

Podpunkt 11 można załatwić tak: istnieje punkt \(z\) taki, że punkty \(x\) i \(z\) są różnymi końcami odcinka \(y\).

\(\displaystyle{ \mathrm{punkt}(x) \land \mathrm{odcinek}(y) \land p(x,y) \land \exists z \; \mathrm{punkt}(z) \land \neg p(x,z) \land p(z,y) \land \forall w\; (\mathrm{odcinek}(w) \land p(w,x) \land p(w,z)) \Rightarrow \mathrm{nadzbiór}(w,y) }\)

Można też zrezygnować z wymagania, żeby \(z\) był punktem i żeby się przecinał z \(y\):

\(\displaystyle{ \mathrm{punkt}(x) \land \mathrm{odcinek}(y) \land p(x,y) \land \exists z \; \neg p(x,z) \land \forall w\; (\mathrm{odcinek}(w) \land p(w,x) \land p(w,z)) \Rightarrow \mathrm{nadzbiór}(w,y) }\)
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Modele- punkty, odcinki, i okręgi płaszczyzny

Post autor: Jakub Gurak »

Jest też takie poniższe zadanie z ważniaka z teorii modeli:
Rozważmy model \(\displaystyle{ {\displaystyle M}}\), którego dziedziną będą liczby naturalne, oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem \(\displaystyle{ {\displaystyle {\text{p}}}}\), który przyjmuje wartość prawdy jeśli pierwszy z jego argumentów dzieli drugi. Napisz formuły które w modelu \(\displaystyle{ {\displaystyle M}}\) są równowążne następującym zdaniom (w kolejnych formułach można wykorzystywać skróty dla formuł zdefiniowanych wcześniej)

\(\displaystyle{ 1. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest równe \(\displaystyle{ {\displaystyle {\text{y}}}; }\)
\(\displaystyle{ 2. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest zerem;
\(\displaystyle{ 3. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest jedynką;
...
Przedstawię teraz rozwiązania tych podpunktów, a następnie spróbuje zilustrować fakt mówiący, że zbiór pusty jest sumą pustej rodziny- \(\displaystyle{ \bigcup\emptyset=\emptyset,}\) przy pomocy modelu dla zbiorów skończonych za pomocą drzew.

Niech \(\displaystyle{ x,y \in \NN.}\)

1. Zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ x|y}\) i \(\displaystyle{ y|x}\), to \(\displaystyle{ x=y.}\) I mamy niewątpliwie, dla dowolnego \(\displaystyle{ x \in \NN}\), mamy wtedy: \(\displaystyle{ x|x}\), a więc dla \(\displaystyle{ x=y}\), mamy: \(\displaystyle{ x|y}\) i \(\displaystyle{ y|x}\). A zatem \(\displaystyle{ x=y \Longleftrightarrow\left( x|y \wedge y|x\right) .}\)

3. Zauważmy, że jedynka dzieli wszystkie liczby- \(\displaystyle{ \frac{x}{1}= x \in \NN}\).
Z drugiej strony, dla \(\displaystyle{ x \neq 1}\), wtedy liczba \(\displaystyle{ x}\) nie dzieli wszystkich liczb, gdyż nie dzieli jedynki, gdyż jedyną liczbą która dzieli jedynkę jest jedynka. Wobec czego liczba \(\displaystyle{ x}\) nie dzieli wszystkich liczb. Wobec czego liczba naturalna \(\displaystyle{ x}\) jest jedynką, gdy \(\displaystyle{ x}\) dzieli wszystkie liczby, czyli, gdy dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ y,}\) mamy: \(\displaystyle{ x|y.}\)

2. Zauważmy, że każda liczba naturalna dzieli \(\displaystyle{ 0}\)- \(\displaystyle{ \frac{0}{x}= 0 \in \NN}\), dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\). Dla \(\displaystyle{ x=0,}\) mamy formalnie: \(\displaystyle{ x=0|0}\), czyli każda liczba naturalna dzieli \(\displaystyle{ 0}\). A dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\), wtedy nie każda liczba naturalna dzieli \(\displaystyle{ x}\), gdyż \(\displaystyle{ 0\not| x}\), gdyż \(\displaystyle{ 0}\) dzieli tylko \(\displaystyle{ 0}\).
A zatem liczba \(\displaystyle{ x}\) jest zerem, gdy każda liczba naturalna dzieli \(\displaystyle{ x}\).


Mówi się, że zbiór pusty jest sumą pustej rodziny: \(\displaystyle{ \bigcup\emptyset= \emptyset}\). Okazuje się, że ten fakt można zilustrować przy pomocy drzew. Wtedy drzewo \(\displaystyle{ \bullet}\) złożone tylko z jednego wierzchołka odpowiada zbiorowi pustemu (więcej na ten temat można przeczytać TUTAJ, POLECAM )- nie ma drzew \(\displaystyle{ x}\), takich, że \(\displaystyle{ x \in \bullet}\), gdyż wtedy, zgodnie z definicją relacji należenia na drzewach, wtedy drzewo \(\displaystyle{ \bullet}\) byłoby postaci \(\displaystyle{ \bullet= \left\langle x, y_1, y_2,\ldots, y_n \right\rangle}\), dla pewnego skończonego ciągu drzew \(\displaystyle{ y_1, y_2, \ldots, y_n}\), a to oznaczałoby, że drzewo \(\displaystyle{ \bullet}\) byłoby drzewem złożonym- sprzeczność.

Przypomnijmy, dla zbioru \(\displaystyle{ x}\), zbiór \(\displaystyle{ \bigcup x}\), to zbiór składający się z wszystkich elementów wszystkich elementów zbioru \(\displaystyle{ x.}\)

I mamy \(\displaystyle{ \bigcup\bullet= \bullet}\), gdyż gdyby drzewo \(\displaystyle{ \bigcup\bullet}\) byłoby drzewem złożonym, to również drzewo \(\displaystyle{ \bullet}\) byłoby drzewem złożonym sprzeczność- oto ILUSTRACJA TEGO FAKTU:\(\displaystyle{ \\}\)
Suma pustej rodziny jest zbiorem pustym.jpg
\(\displaystyle{ \\}\)
Na koniec dodam jeszcze jeden dowodzik.

Przypomnę może najpierw, że dodawanie liczb naturalnych jest skracalne, tzn. dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k,n,m}\):

jeśli \(\displaystyle{ k+n=m+n}\), to \(\displaystyle{ k=m;}\)

dowodziłem to już na forum, musiałbym poszukać gdzie.

Wykażemy, że mnożenie liczb naturalnych jest skracalne, tzn.:

Dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k,m}\) i \(\displaystyle{ n,}\) jeśli \(\displaystyle{ k \cdot n=m \cdot n}\), i \(\displaystyle{ n \neq 0}\), to \(\displaystyle{ k=m.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Dowód jest indukcyjny ze względu na zmienną \(\displaystyle{ k.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ k=0}\), to (dla dowolnych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\)), jeśli \(\displaystyle{ 0 \cdot n= m \cdot n}\) i \(\displaystyle{ n \neq 0}\), to \(\displaystyle{ m \cdot n=0.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ n \neq 0}\), a iloczyn \(\displaystyle{ m \cdot n}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\), więc musi być \(\displaystyle{ m=0}\), czyli \(\displaystyle{ k=0=m}\), co dowodzi podstawy indukcji.

Krok indukcyjny:

Załóżmy, że dowodzony fakt zachodzi dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\) ( i dla dowolnych \(\displaystyle{ n,m, n \neq 0}\) ).Wykażemy, że ten fakt zachodzi również dla \(\displaystyle{ k'}\) (i dowolnych \(\displaystyle{ n,m, n \neq 0}\))

Niech \(\displaystyle{ n \neq 0, m \in \NN}\) będą takie, że \(\displaystyle{ k' \cdot n=m \cdot n}\). Ponieważ \(\displaystyle{ 0}\) nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej to \(\displaystyle{ k' \neq 0}\), mamy \(\displaystyle{ n \neq 0}\), a zatem \(\displaystyle{ k' \cdot n \neq 0}\), czyli \(\displaystyle{ m \cdot n \neq 0}\), a zatem \(\displaystyle{ m \neq 0}\). A zatem liczba naturalna \(\displaystyle{ m}\) jest następnikiem pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ l \in \NN}\), tzn.: \(\displaystyle{ m=l'.}\) Wobec czego:

\(\displaystyle{ k' \cdot n= k \cdot n+n= l' \cdot n= l \cdot n+n,}\)

używając przytoczonej skracalności dodawania otrzymujemy:

\(\displaystyle{ k \cdot n= l \cdot n}\),

możemy zatem zastosować założenie indukcyjne do liczb \(\displaystyle{ k, l}\) i \(\displaystyle{ n}\) (mamy \(\displaystyle{ n\neq 0}\)), więc otrzymujemy:

\(\displaystyle{ k=l}\), a zatem \(\displaystyle{ k'= l'=m}\), czyli \(\displaystyle{ k'=m}\), co należało pokazać dla kroku indukcyjnego.

Twierdzenie o indukcji kończy dowód tego faktu.\(\displaystyle{ \square}\) 8-)

Dodano po 22 dniach 13 godzinach 46 minutach 59 sekundach:
Jakub Gurak pisze: 6 mar 2023, o 00:03 Jest też takie poniższe zadanie z ważniaka z teorii modeli:
Rozważmy model \(\displaystyle{ {\displaystyle M}}\), którego dziedziną będą liczby naturalne, oraz w którym jest jeden predykat binarny oznaczony symbolem \(\displaystyle{ {\displaystyle {\text{p}}}}\), który przyjmuje wartość prawdy jeśli pierwszy z jego argumentów dzieli drugi. Napisz formuły które w modelu \(\displaystyle{ {\displaystyle M}}\) są równowążne następującym zdaniom (w kolejnych formułach można wykorzystywać skróty dla formuł zdefiniowanych wcześniej)

\(\displaystyle{ 1. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest równe \(\displaystyle{ {\displaystyle {\text{y}}}; }\)
\(\displaystyle{ 2. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest zerem;
\(\displaystyle{ 3. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest jedynką;
...

Przedstawię rozwiązania dalszych podpunktów, tzn.:
\(\displaystyle{ 4. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest liczbą pierwszą;
\(\displaystyle{ 5. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest kwadratem pewnej liczby pierwszej;
\(\displaystyle{ 6. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych;
\(\displaystyle{ 8. \ {\displaystyle {\text{x}}}}\) jest potęgą liczby pierwszej;
\(\displaystyle{ 9. \ }\) Dla każdych dwóch liczb istnieje ich największy wspólny dzielnik;
\(\displaystyle{ 10. \ }\) Dla każdych dwóch liczb istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotność;
\(\displaystyle{ 11. \ }\) Liczby \(\displaystyle{ {\displaystyle {\text{x}}}}\) i \(\displaystyle{ {\displaystyle {\text{y}}}}\) są względnie pierwsze.
ROZWIĄZANIA:

4. Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą pierwszą, to to oznacza, że ma dwa różne dzielniki- \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 1}\).
Tyle tylko, że \(\displaystyle{ 1}\) nie jest liczbą pierwszą, bo jedynka ma dokładnie jeden dzielnik- samą siebie.

Wobec czego \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą pierwszą, gdy \(\displaystyle{ x \neq 1}\)(tzn. \(\displaystyle{ \neg \left( x=1\right)}\) ) , i jeśli liczba naturalna \(\displaystyle{ z}\) dzieli \(\displaystyle{ x}\), to \(\displaystyle{ z=1}\) lub \(\displaystyle{ z=x}\).

Jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą pierwszą, to będziemy to zapisywać jako: \(\displaystyle{ Prim(x).}\)

5. \(\displaystyle{ x}\) jest kwadratem pewnej liczby pierwszej.

Wtedy jeśli \(\displaystyle{ x=p^2}\), gdzie mamy \(\displaystyle{ Prim (p)}\), czyli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ x= p \cdot p}\), a więc liczba \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie trzy różne dzielniki: \(\displaystyle{ 1, p}\) i \(\displaystyle{ p ^{2}.}\)
A jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą złożona, tzn. \(\displaystyle{ x=a \cdot b}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b \in \NN}\) i \(\displaystyle{ a \neq b}\), to liczba \(\displaystyle{ x}\) ma co najmniej cztery dzielniki: \(\displaystyle{ 1, a ,b}\) i \(\displaystyle{ x=a \cdot b}\).

(I \(\displaystyle{ 1}\) nie jest kwadratem liczby pierwszej, bo kwadrat liczby pierwszej jest większy lub równy od \(\displaystyle{ 2^2=4,}\) i \(\displaystyle{ 1}\) ma dokładnie jeden dzielnik- \(\displaystyle{ 1}\), a \(\displaystyle{ 0}\) nie jest kwadratem liczby pierwszej, i \(\displaystyle{ 0}\) ma nieskończenie wiele różnych dzielników- każda niezerowa liczba naturalna dzieli \(\displaystyle{ 0}\)).

Wobec czego \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą pierwszą, gdy \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie trzy różne dzielniki, tzn.: gdy każda dwa dzielniki liczby \(\displaystyle{ x}\), różne od \(\displaystyle{ x}\) i różne od \(\displaystyle{ 1}\), są sobie równe.

6. \(\displaystyle{ x}\) jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych.

Wtedy liczba \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie dwa różne dzielniki, które są różne od \(\displaystyle{ x}\) i które są różne od \(\displaystyle{ 1.}\)

Bo jeśli \(\displaystyle{ x=a \cdot b}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) są pierwsze i \(\displaystyle{ a \neq b}\), to \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie cztery dzielniki \(\displaystyle{ 1, a, b}\) i \(\displaystyle{ x}\), czyli własność zachodzi.
A jak \(\displaystyle{ x}\) jest kwadratem pewnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), to \(\displaystyle{ x=p \cdot p}\), a więc \(\displaystyle{ x}\) ma dokładnie jeden dzielnik różny od \(\displaystyle{ 1}\) i różny od \(\displaystyle{ x}\)- jest nim \(\displaystyle{ p.}\)

8. \(\displaystyle{ x}\) jest potęgą liczby pierwszej.

Jeśli \(\displaystyle{ x=p ^{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN_+}\), i \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsze, to \(\displaystyle{ x=\underbrace{p \cdot p \cdot \ldots \cdot p}_{n \hbox{ razy} }. }\)

Wtedy dzielnikami liczby \(\displaystyle{ x}\) są dokładnie: \(\displaystyle{ 1}\) i liczby postaci \(\displaystyle{ p ^{m}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1 \le m \le n}\). A zatem każde dwa dzielniki liczby \(\displaystyle{ x}\), różne od \(\displaystyle{ 1}\) (wtedy te dzielniki są postaci \(\displaystyle{ p ^{m}, p ^{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ m ,k\in \left\{ 1,2,\ldots,n \right\}}\)), mają wspólny dzielnik różny od \(\displaystyle{ 1}\) (jest nim liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\)).

A jeśli liczba \(\displaystyle{ x}\) nie jest liczbą pierwszą, tzn. gdy jej rozkład na czynniki pierwsze jest postaci:

\(\displaystyle{ x= p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n,}\) gdzie czynniki \(\displaystyle{ p_i}\) są zawsze pierwsze, i dla pewnych \(\displaystyle{ i}\) i \(\displaystyle{ j}\) mamy \(\displaystyle{ p_i \neq p_j}\), to wtedy są to czynniki pierwsze, więc mamy \(\displaystyle{ p_i, p_j \neq 1,}\) i ponieważ \(\displaystyle{ p_i \neq p_j}\), to jedynym ich wspólnym dzielnikiem jest \(\displaystyle{ 1.}\)

A zatem \(\displaystyle{ x}\) jest naturalną dodatnią potęgą liczby pierwszej, gdy każde dwa dzielniki liczby \(\displaystyle{ x}\), różne od \(\displaystyle{ 1}\), mają wspólny dzielnik różny od \(\displaystyle{ 1.}\)

9. Dla każdych dwóch liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) istnieje największy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y.}\)

Uzasadnijmy najpierw, że:

Największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to dokładnie taka liczba naturalna \(\displaystyle{ z}\), która jest wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), i każda liczba, która dzieli obie liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), dzieli też \(\displaystyle{ z.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest największym wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to w szczególności \(\displaystyle{ z}\) dzieli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), i każda liczba \(\displaystyle{ w}\) która dzieli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), wtedy \(\displaystyle{ w}\) jest wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a ponieważ \(\displaystyle{ z}\) jest największym wspólnym dzielnikiem, to \(\displaystyle{ w}\) dzieli \(\displaystyle{ z}\).

Jeśli \(\displaystyle{ z}\) nie jest największym wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to jeśli \(\displaystyle{ z}\) nie dzieli \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ z}\) nie dzieli \(\displaystyle{ y,}\) to nasza równoważność zachodzi.

Jeśli \(\displaystyle{ z}\) dzieli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\) dzieli \(\displaystyle{ y}\), to \(\displaystyle{ z}\) jest wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), i biorąc za liczbę \(\displaystyle{ w}\) największy wspólny dzielnik liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), (wtedy \(\displaystyle{ w}\) dzieli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)), i \(\displaystyle{ w}\) nie dzieli \(\displaystyle{ z}\), bo \(\displaystyle{ z}\) jest wspólnym dzielnikiem \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a dla największego wspólnego dzielnika dwóch liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), jedyną liczbą, wśród wspólnych dzielników \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), które on dzieli, jest on sam, a liczba \(\displaystyle{ z}\) nie jest największym wspólnym dzielnikiem -sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ w}\) nie dzieli \(\displaystyle{ z,}\) i druga część koniunkcji nie jest spełniona, a więc cała równoważność zachodzi.

Mając taką charakteryzację możemy teraz powiedzieć:\(\displaystyle{ }\)

Dla każdych dwóch liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ z}\) (największy wspólny dzielnik tych dwóch liczb), czyli taka liczba \(\displaystyle{ z}\), która dzieli \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), i, dla której, każda liczba \(\displaystyle{ w}\) dzieląca \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), wtedy \(\displaystyle{ w}\) dzieli też \(\displaystyle{ z.}\)

10. Dla każdych liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotność.

Uzasadnijmy najpierw, że:

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to dokładnie taka liczba naturalna \(\displaystyle{ z}\), że \(\displaystyle{ x}\) dzieli \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) dzieli \(\displaystyle{ z}\)( a więc \(\displaystyle{ z}\) jest wspólną wielokrotnością \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)), i dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ w}\), jeśli \(\displaystyle{ w}\) jest wspólną wielokrotnością \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to \(\displaystyle{ z}\) dzieli \(\displaystyle{ w}\) ( czyli każda liczba, dzielącą obie liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), jest podzielna też przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność \(\displaystyle{ z}\)).

Jeśli liczba \(\displaystyle{ z}\) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to w szczególności \(\displaystyle{ z}\) jest wielokrotnością \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), a więc \(\displaystyle{ x}\) dzieli \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) dzieli \(\displaystyle{ z}\), i jeśli \(\displaystyle{ w}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), czyli \(\displaystyle{ w}\) jest wspólną wielokrotnością \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to ponieważ \(\displaystyle{ z}\) jest najmniejszą wspólną wielokrotnością, więc \(\displaystyle{ z}\) dzieli \(\displaystyle{ w}\).

Jeśli liczba \(\displaystyle{ z}\) nie jest najmniejszą wspólną wielokrotnością, to:

Jeśli \(\displaystyle{ z}\) nie jest nawet żadną wspólną wielokrotnością \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to pierwsza część koniunkcji nie jest spełniona, a zatem cala równoważność zachodzi.

Jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest wspólną wielokrotnością \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), to biorąc za \(\displaystyle{ w}\) najmniejszą wspólną wielokrotność \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ( wtedy \(\displaystyle{ w}\) jest oczywiście wspólną wielokrotnością \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ), więc \(\displaystyle{ z}\) nie dzieli \(\displaystyle{ w}\), bo jedynym dzielnikiem, wśród wspólnych wielokrotności \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), jedynym dzielnikiem najmniejszej wspólnej wielokrotności jest ona sama (a liczba \(\displaystyle{ z}\) nie jest najmniejszą wspólną wielokrotnością). Wobec czego \(\displaystyle{ z}\) nie dzieli \(\displaystyle{ w}\), a więc ostatnia część koniunkcji z tej prawej strony równoważności nie jest spełniona, i cala równoważność zachodzi.

Mając taką charakteryzację, pozostaje powiedzieć:

Dla każdych liczb naturalnych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) istnieje liczba \(\displaystyle{ z}\) o tej własności (najmniejsza wspólna wielokrotność tych dwóch liczb).

11. Liczby \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są względnie pierwsze.

Wtedy jedynym ich wspólnym dzielnikiem jest \(\displaystyle{ 1}\);

a więc dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ z:}\) jeśli \(\displaystyle{ z}\) dzieli zarówno \(\displaystyle{ x,}\) jak i \(\displaystyle{ y}\), to \(\displaystyle{ z=1.}\)


Na koniec dodam jeden mały dowodzik:

Przypominam definicję mnożenia liczb naturalnych:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \cdot m=0, \hbox{ dla każdej liczby naturalnej } m;\\ n' \cdot m=\left( n \cdot m\right) +m, \hbox {dla dowolnych naturalnych } n \hbox{ i } m. \end{cases} }\)

Przypominam:

Każda liczba naturalna jest zerem (zbiorem pustym) lub następnikiem pewnej liczby naturalnej- jest to prosty fakt.

Przypominam, dowodzi się, że jeśli suma dwóch liczb naturalnych jest równa \(\displaystyle{ 0}\), to obydwie muszą być równe \(\displaystyle{ 0}\)- udowodniłem to w wątku: "Oczywiste fakty".

Wykażemy, że:

Dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ k,m}\), mamy:

\(\displaystyle{ k \cdot m= 0 \Leftrightarrow k=0 \vee m=0.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Implikacja z prawej strony do lewej wynika z definicji mnożenia, oraz z prostego prawa (które się dowodzi) : \(\displaystyle{ k \cdot 0=0.}\)

Aby pokazać implikacje z lewej strony do prawej, załóżmy, że:

\(\displaystyle{ k \cdot m=0.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ k=0}\), to implikacja zachodzi.

Jeśli \(\displaystyle{ k \neq 0}\), to \(\displaystyle{ k}\) jest następnikiem pewnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ p}\), tzn. \(\displaystyle{ k=p'}\), dla pewnego \(\displaystyle{ p \in \NN}\).

Wtedy:

\(\displaystyle{ 0= k \cdot m= p' \cdot m= p \cdot m+m,}\)

czyli:

\(\displaystyle{ \left( p \cdot m\right) +m= 0,}\)

a ponieważ \(\displaystyle{ \left( p \cdot m\right) }\), jako iloczyn dwóch liczb naturalnych, jest liczbą naturalną, to stosując przytoczony fakt mówiący o tym, kiedy suma dwóch liczb naturalnych jest równa zero, więc wnioskujemy, że w szczególności: \(\displaystyle{ m=0}\), co dowodzi implikacji w prawą stronę.\(\displaystyle{ \square }\) :P :lol:
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Modele- punkty, odcinki, i okręgi płaszczyzny

Post autor: arek1357 »

Twoje dowody przypominają mi trochę podejście Sokratesa
ODPOWIEDZ