Matematyka.pl

Witam.
Czy ktoś mógłby pomóc?
1.wyznacz moc zbioru wszystkich rozłącznych koł o dodatnich promieniach (z brzegiem lub bez)na płaszczyźnie.Czy odpowiedź może się zmienić(na jaką)jeśli dopuścimy,ze promienie kół są rozłączne?

2.wykaż ,że odcinek z końcami jest równoliczny z odcinkiem bez końców.

3.Udowodnij,że liczba przekątnych nkąta wypukłego jest równa \(\displaystyle{ p _{n}= \frac{n(n-3)}{2}}\)(to trzeba indukcją dowodnić?)

Ad 1. Taki zbiór ma moc \(\displaystyle{ \le\aleph_0}\). Co to znaczy, że "promienie kół są rozłączne"?

Ad 2. a) Konstruujesz bijekcję - np. znajdujesz dwa rozłączne ciągi wewnątrz odcinka, każdy zaczynający się w innym końcu odcinka. Funkcja przesuwa każdy element ciągu na element następny w tym ciągu (dla każdego z ciągów), a poza tym jest identycznością.

lub

b) Wiesz, że dwa odcinki otwarte są równoliczne. Bierzesz dowolny odcinek otwarty, zawierający dany odcinek domknięty. Jest on równoliczny z tymże odcinkiem, pozbawionym końców. Stosujemy tw. Cantora-Bernsteina.

Ad 3.Tak, to trzeba indukcją (dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\)...).

JK

Jan Kraszewski pisze:Ad 1. Taki zbiór ma moc \(\displaystyle{ \le\aleph_0}\). Co to znaczy, że "promienie kół są rozłączne"?
JK

koła są rozłączne.
a co do tego pierwszego zadania to jak to wykazać?

W takim razie nie jest dla mnie całkiem jasne, co znaczy pierwotne polecenie "wyznacz moc zbioru wszystkich rozłącznych kół o dodatnich promieniach". Skoro koła są rozłączne, to dlaczego coś ma się zmienić, gdy dodatkowo założymy, że są rozłączne...? Poza tym nie ma sensu mówić o zbiorze wszystkich kół rozłącznych, bo takowy nie istnieje.

Podejrzewam, że może chodzić o następujące zadanie (ale to tylko mój domysł):
"Wyznacz moc zbioru wszystkich kół o dodatnich promieniach (z brzegiem lub bez) na płaszczyźnie. Czy odpowiedź może się zmienić(na jaką) jeśli założymy, że rozważamy zbiór kół parami rozłącznych?"

Tak czy inaczej są tutaj dwa zadania.
1. Jaka jest moc zbioru wszystkich kół o dodatnich promieniach (z brzegiem lub bez) na płaszczyźnie?
Odpowiedź: \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) (continuum).
Uzasadnienie (w skrócie): Każde koło jest jednoznacznie wyznaczone przez swój środek i promień, czyli przez trójkę liczb \(\displaystyle{ (x,y,r)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}_+}\), a takich trójek jest continuum.

2. Jaka jest moc zbioru parami rozłącznych kół na płaszczyźnie?
Odpowiedź: \(\displaystyle{ \le\aleph_0}\) (co najwyżej przeliczalna).
Uzasadnienie: tutaj.

Teraz sama musisz zdecydować, o jakie zadanie chodziło...

A w kwestii podpunktu 3. - można bez indukcji.
Jeśli masz \(\displaystyle{ n}\)-kąt wypukły, to z każdego wierzchołka wychodzą \(\displaystyle{ n-3}\) przekątne (dlaczego?). Wierzchołków jest \(\displaystyle{ n}\), co daje liczbę \(\displaystyle{ n(n-3)}\) przekątnych. Ale każdą z nich liczyliśmy dwukrotnie (dlaczego?), zatem ostatecznie liczba przekątnych to \(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\).

JK

dziękuję