Metody założeniowe

Zdania. Tautologie. Język matematyki. Wszelkie zagadnienia związane z logiką matematyczną...
vodek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 7 gru 2007, o 21:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Metody założeniowe

Post autor: vodek »

Dzień dobry, witam wszystkich,
Po dzisiejszych ćwiczeniach z przedmiotu "Matematyka dla informatyków", niestety mam wątpliwości czy dobrze zrozumiałem zadania. Potrzebuje pomocy , lub podpowiedzi specjalisty. Poniżej podam treść zadania i odpowiedzi które chciałbym skonsultować:

Udowodnić metodą założeniową następujące schematy logiczne:
\(\displaystyle{ (p \wedge q ) \rightarrow r}\)
\(\displaystyle{ \neg r}\)
\(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ \therefore \neg p}\)

Rozwiązanie, które chciałbym skonsultować:
1. q jest prawdą
2.\(\displaystyle{ \neg r}\) jest prawdą, czyli r jest fałszem
3.\(\displaystyle{ (p \wedge q) \rightarrow r }\) jest prawdą czyli p jest fałszem
Wniosek nie jestem pewny \(\displaystyle{ \neg p}\) jest prawdą ?


Drugie zadanie:
Zapisz poniższy schemat wnioskowania za pomocą
zmiennych logicznych. Określ zmienne logiczne występujące w
schemacie. Uzupełnij brakującą część schematu wnioskowania. Oceń, czy
uzupełniony przez Ciebie schemat wnioskowania jest prawdziwy. Jeśli
tak, udowodnij ten schemat stosując metodę założeniową.

Jeśli uczyłam(łem) się solidnie do egzaminu, to zdałam(łem) egzamin w pierwszym terminie.

................................................
______________________________________
Nie uczyłam(łem) się solidnie do egzaminu.

Rozwiązanie, które chciałbym skonsultować:
W miejsce wykropkowane wprowadzam "Zdałam(łem) egzamin w pierwszym terminie".
Rozwiązanie z użyciem zmiennych logicznych:
\(\displaystyle{ p \rightarrow q}\)
\(\displaystyle{ q}\)
_______________
\(\displaystyle{ \neg p}\)

1. q jest prawdziwe
2.\(\displaystyle{ \neg p}\) jest prawdziwe, więc p jest fałszywe
Wniosek \(\displaystyle{ \neg p}\) jest prawdą?



Z góry przepraszam jeżeli napisałem kompletne bzdury, jednak mam wrażenie że dzisiejszy wykład był słabo wytłumaczony dla takich nowicjuszy jak ja.
Ostatnio zmieniony 20 lis 2022, o 15:37 przez Dasio11, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości - w czwartej linijce schematu chodziło zapewne o symbol \therefore.
korabie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 25 paź 2017, o 11:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: korabie »

W zadaniu drugim należy dobrać tak drugą przesłankę, żeby wniosek miał sens:

1. Jeśli uczyłam(łem) się solidnie do egzaminu, to zdałam(łem) egzamin w pierwszym terminie.
2. Nie zdałam(łem) egzaminu w pierwszym terminie.
______________________________________
Nie uczyłam(łem) się solidnie do egzaminu.
vodek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 7 gru 2007, o 21:50
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: vodek »

W zadaniu drugim należy dobrać tak drugą przesłankę, żeby wniosek miał sens


Dziękuję Ci, teraz wiem już jak uzupełnić brakującą część wnioskowania. Nadal jednak nie wiem:

Jak oceniać czy uzupełniony przeze mnie schemat wnioskowania jest prawdziwy.
Jeżeli byłby prawdziwy to nie wiem jak udowadniać ten schemat metodą założeniową.
Nadal nie wiem jak udowadniać metodą założeniową przesłane wcześniej schematy logiczne.

Naprawdę bardzo zależy mi na tym żeby to zrozumieć, potrzebuje tylko prostego wytłumaczenia.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: Jakub Gurak »

Co do pierwszego zadania- spróbuj dowodem nie wprost je udowodnić.
Tak samo zadanie drugie- łatwo dowodem nie wprost można je rozwiązać. :)
korabie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 25 paź 2017, o 11:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: korabie »

Żeby zbudować dowód metodą założeniową, musisz mieć ustalony zestaw reguł wnioskowania. Jakie reguły zostały podane na wykładzie?
Jeśli należy do nich modus tollendo tollens (MTT), to można ją zastosować w obu zadaniach i przeprowadzić dowód założeniowy wprost.
Jeśli jej wśród podanych reguł nie ma, to można ją udowodnić (dla przećwiczenia) i wtedy zastosować albo przeprowadzić dowód nie wprost, tak jak jest napisane w poście powyżej.
macosi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 15 lis 2022, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: macosi »

Dołączę się do wątku.
Jestem z kolegą chyba na tych samych studiach i też ciężko to zrozumieć, doktor na zajęciach bardzo szybko to wytłumaczył :)

Co do pierwszego przykładu tj:
\(\displaystyle{ (p \wedge q) \Rightarrow r}\)
\(\displaystyle{ \neg r}\)
\(\displaystyle{ q}\)
\(\displaystyle{ ∴ \neg p}\)

Za radą korabie skorzystałem z Modus tollendo tollens i wyszło mi takie rozumowanie dowodem wprost:
\(\displaystyle{ 1. (p \wedge q) \Rightarrow r - założenie}\)
\(\displaystyle{ 2. \neg r - założenie}\)
\(\displaystyle{ 3. q - założenie}\)
\(\displaystyle{ 4. \neg p - teza}\)
\(\displaystyle{ 5. \neg (p \wedge q)}\) - 1. i 2. Modus tollendo tollens
\(\displaystyle{ 6. \neg p \vee \neg q}\) - 5. Prawo de Morgana
\(\displaystyle{ 7. \neg p}\) - 6. i 3. OA (Opuszczanie alternatywy)

Dobrze to rozumiem?
korabie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 25 paź 2017, o 11:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: korabie »

Dowód zaczynamy od wypisania założeń, nie mamy prawa umieścić po nich od razu tezy, bo nie wiadomo, czy z nich wynika. Czyli powinno być bez pkt 4.
Jeśli podajecie najpierw numery punktów, a potem regułę z której korzystacie, to reszta jest OK.
macosi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 15 lis 2022, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: macosi »

OK, czyli jeżeli teza to samo p to nie wypisujemy jej, a jeżeli miałaby formę np. \(\displaystyle{ p \Rightarrow r}\) to \(\displaystyle{ p}\)(poprzednik tezy) wpisujemy jako założenie tak?

Co do podawania najpierw numerów punktów a później reguł to doktor w jednym przykładzie pokazał tak a w drugim odwrotnie :wink:

Mam jeszcze dwa przykłady, chciałbym sprawdzić czy w dobrą stronę idę.

Przykład 1.
\(\displaystyle{ (p \vee q) \Rightarrow r}\)
\(\displaystyle{ p}\)
\(\displaystyle{ ∴ r}\)
\(\displaystyle{ 1. (p \vee q) \Rightarrow r - założenie}\)
\(\displaystyle{ 2. p - założenie}\)
\(\displaystyle{ 3. p \Rightarrow (p \vee q) - }\) prawo wprowadzenia alternatywy
\(\displaystyle{ 4. p \Rightarrow r - }\) wniosek z 1. i 3., prawo przechodniości implikacji
\(\displaystyle{ 5. r - }\) wniosek z 4. i 2., RO

Przykład 2.
\(\displaystyle{ p \vee q}\)
\(\displaystyle{ \neg p \vee r}\)
\(\displaystyle{ \neg q}\)
\(\displaystyle{ ∴ r}\)
\(\displaystyle{ 1. p \vee q - założenie}\)
\(\displaystyle{ 2. \neg p \vee r - założenie}\)
\(\displaystyle{ 3. \neg q - założenie}\)
\(\displaystyle{ 4. p - }\) wniosek z 1. i 3., OA
\(\displaystyle{ 4. r - }\) wniosek z 2. i 4., OA
korabie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 25 paź 2017, o 11:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: korabie »

Tezy nie umieszczasz w dowodzie, dopóki nie wykażesz, że jest prawdziwa. Jeśli ta prawdziwość wyniknie z przeprowadzonego dowodu, to teza znajdzie się w ostatniej linijce (ostatniej - bo to zakończy dowód, taki był cel). Jeżeli z dowodu wprost wyniknie, że np. prawdziwe jest zaprzeczenie tezy, to teza się w takim dowodzie wcale nie pojawi.
Jeżeli teza ma postać implikacji \(\displaystyle{ p \Rightarrow r}\) to masz udowodnić prawdziwość implikacji, a nie jej następnika.

Dodano po 1 godzinie 8 minutach 45 sekundach:
W pierwszym przykładzie można krócej:

1. \(\displaystyle{ p \vee q \Rightarrow r}\) \(\displaystyle{ \ }\) | założenie
2. \(\displaystyle{ p}\) \(\displaystyle{ \ }\) | założenie
3. \(\displaystyle{ p \vee q}\)\(\displaystyle{ \ }\) | DA 2.
4. \(\displaystyle{ r}\)\(\displaystyle{ \ }\) | RO 1., 3.
i tu już jest teza, więc to kończy dowód.

Ale jeśli w podanym zestawie reguł dowodzenia masz prawo przechodniości implikacji, to jest to dobry dowód.

Przykład 2 OK
macosi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 15 lis 2022, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: macosi »

Dzięki za podanie innej możliwości dla pierwszego przykładu, co prawda w podanych regułach mam prawo przechodniości implikacji ale dzięki Twojemu rozwiązaniu rozjaśniło mi się jak mogę się tym w sumie bawić :)
Dziękuję oczywiście za sprawdzenie tych przykładów. Zdaje się, że to zrozumiałem.
Jedyne co to dopytam jeszcze o ten przykład tezy \(\displaystyle{ p \Rightarrow r}\) bo nie wiem czy ja to dobrze przedstawiłem.

Mam taki przykład z wykładu:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\)
\(\displaystyle{ r}\)
_____________
\(\displaystyle{ p \Rightarrow (q \wedge r)}\)
\(\displaystyle{ 1. założenie: p \Rightarrow q}\)
\(\displaystyle{ 2. założenie: r}\)
\(\displaystyle{ 3. założenie: p}\)
\(\displaystyle{ 4.RO 1 i 3: q}\)
\(\displaystyle{ 5. DK 2 i 4: q \wedge r}\)

I teraz chodzi mi o to 3. założenie, tak jak to rozumiem na podstawie książki "Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach" to poprzednik implikacji \(\displaystyle{ p \Rightarrow (q \wedge r)}\) czyli \(\displaystyle{ p }\) wpisuję jako 3. założenie. I wtedy tezą staje się \(\displaystyle{ q \wedge r}\) tak?
korabie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 25 paź 2017, o 11:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: korabie »

W przykładzie masz wyraźnie oddzielone kreską przesłanki (czyli założenia) \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), a pod nimi wniosek \(\displaystyle{ p \Rightarrow (q \wedge r)}\) (czyli tezę).
O założeniach wiemy, że są prawdziwe (z założenia : ), o tezie nic nie wiemy, możemy ją dopiero udowodnić (albo i nie).
Skoro teza ma postać implikacji, to trzeba udowodnić prawdziwość implikacji a nie jej następnika, przecież implikacja o fałszywym następniku może być prawdziwa.
macosi pisze: 6 gru 2022, o 21:02 Mam taki przykład z wykładu:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\)
\(\displaystyle{ r}\)
_____________
\(\displaystyle{ p \Rightarrow (q \wedge r)}\)
\(\displaystyle{ 1. założenie: p \Rightarrow q}\)
\(\displaystyle{ 2. założenie: r}\)
\(\displaystyle{ 3. założenie: p}\)
A więc założenia 1. i 2. są poprawne, założenie z punktu 3. nie miało prawa się tu znaleźć.
Zastąp je zaprzeczeniem tezy i przeprowadź dowód nie wprost.
macosi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 15 lis 2022, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: macosi »

Tu mam mały zgrzyt bo to nie ja rozwiązałem ten przykład w taki sposób tylko doktor na wykładzie.

Dodatkowo był przykład: \(\displaystyle{ [(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r)] \Rightarrow (p \Rightarrow r)}\).

Przykład ten został rozwiązany następująco:
\(\displaystyle{ 1. p \Rightarrow q}\) - założenie
\(\displaystyle{ 2. q \Rightarrow r}\) - założenie
\(\displaystyle{ 3. p}\) - założenie jako poprzednik implikacji
\(\displaystyle{ 4. q }\) - wniosek z 1 i 3, RO
\(\displaystyle{ 5. r }\) - wniosek z 2 i 4, RO

Dowód jest zakończony, bo otrzymaliśmy następnik wniosku.

Odsłuchałem jeszcze raz wykład i wg tego co mówi doktor to przy dowodzie wprost, jeżeli wniosek ma postać implikacji to poprzednik implikacji wpisujemy w założenie i dowodzimy tylko następnik wniosku.
Ostatnio zmieniony 7 gru 2022, o 19:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: Jan Kraszewski »

macosi pisze: 7 gru 2022, o 18:51Odsłuchałem jeszcze raz wykład i wg tego co mówi doktor to przy dowodzie wprost, jeżeli wniosek ma postać implikacji to poprzednik implikacji wpisujemy w założenie i dowodzimy tylko następnik wniosku.
A powiedział, że o tym, że tak można zrobić, mówi twierdzenie o dedukcji?

JK
macosi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 15 lis 2022, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 2 razy

Re: Metody założeniowe

Post autor: macosi »

Przesłuchałem 3. raz i twierdzenie o dedukcji pojawia się w nim przed metodą zero-jedynkową, natomiast to, że wpisanie poprzednika implikacji do założeń wynika z tego twierdzenia doktor nie wytłumaczył. Nawet ktoś zapytał skąd się bierze to 3 założenie, czyli poprzednik tezy. Doktor tylko powiedział, że tak należy robić, ale nie mówił nic o twierdzeniu o dedukcji w tym kontekście.

W każdym razie rozumiem, że mogę tak robić w przypadku metody wprost i nie wprost, tak?. W książce, którą nam udostępniono znalazłem też przykłady zastosowania tego twierdzenie również dla metody nie wprost.
ODPOWIEDZ