Cześć.
Jak się czyta te "znaczki" i nawiasy. bo znam tylko:
1. Nie należy do zbioru
2. Wtedy i tylko wtedy
Chodzi mi o to jak formalnie przeczytać to wyrażenie, bo próbuję je zrozumieć. A co każdy przykład to podobnie jest konstruowany w tej książce.
Ps. Piszę w tym dziale , bo nie znalazłem odpowiedniego.
Książka nie należy do zbioru?
Książka nie należy do zbioru?
- Załączniki
-
Ostatnio zmieniony 19 lip 2023, o 21:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Książka
Kwantyfikator \(\displaystyle{ \forall}\) oznacza; dla każdego, i tak się go czyta. Treść zdania \(\displaystyle{ (0.1)}\) sprowadza się do tego co je poprzedza. Mianowicie \(\displaystyle{ (0.1)}\) formalnie definiuje znaczek \(\displaystyle{ \not\in}\) stwierdzając, że jest równoważny ze stwierdzeniem: nie należy do zbioru. Przy czym \(\displaystyle{ (0.1)}\) należy rozumieć raczej jako definicję, a nie twierdzenie. Potem faktycznie \(\displaystyle{ (0.2)}\) to fakt wynikający z prawa wyłączonego środka. Faktycznie każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest w zbiorze \(\displaystyle{ B}\) lub (oznaczone: \(\displaystyle{ \vee }\)) go tam nie ma. Trzeciej opcji nie ma.
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Książka
Może z Twojego punktu widzenia lepiej to zrozumiem.
Bo chciałbym formalnie przeczytać 0.1 "pełnym zdaniem. Dla Każdego zbioru A... i co dalej?
Bo chciałbym formalnie przeczytać 0.1 "pełnym zdaniem. Dla Każdego zbioru A... i co dalej?
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4076
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Książka
Hmmm... no ja bym po pierwsze w ogóle nie użył znaczków. Po prostu powiedział bym, że zapis \(\displaystyle{ a \not\in b}\) będziemy rozumieć jako zaprzeczanie \(\displaystyle{ a\in b}\). Mówiąc po ludzku, że \(\displaystyle{ a}\) nie ma w \(\displaystyle{ b}\). Chyba, że by mnie zmusili. Wtedy napisał bym, że znaczek \(\displaystyle{ \not\in}\) formalnie definiujemy
Co do tego samego się sprowadza. Książka wygląda jakby była wstępem do teorii mnogości czy logiki, a jeśli tak nie jest to od razu stał bym się bardzo podejrzliwy. Bo to jedynie znaczki które można prozą opisać równie dobrze.
\(\displaystyle{ (\forall a,b) (a\not\in b \, \Leftrightarrow \, \neg (a\in b)).}\)
Co do tego samego się sprowadza. Książka wygląda jakby była wstępem do teorii mnogości czy logiki, a jeśli tak nie jest to od razu stał bym się bardzo podejrzliwy. Bo to jedynie znaczki które można prozą opisać równie dobrze.
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Książka
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{l|l}
\forall A & \text{Dla każdego zbioru } A, \\
\forall B & \text{dla każdego zbioru } B, \\
A \notin B & A \text{ nie należy do } B \\
\iff & \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \\
\neg & \text{nie jest prawdą, że} \\
A \in B & A \text{ należy do } B.
\end{tabular}}\)
Nawiasów się nie czyta. Kwadratowe nie różnią się funkcją od okrągłych i określają, które części formuły mają pierwszeństwo w łączeniu się ze sobą. W szczególności nawiasy obejmujące część zaraz za kwantyfikatorem (\(\displaystyle{ \forall}\)) określają jego zasięg. Przykładowo w formule
\(\displaystyle{ \forall x (x \in A \vee x \in B)}\)
obie zmienne \(\displaystyle{ x}\) wewnątrz nawiasów są związane kwantyfikatorem, natomiast w takiej
\(\displaystyle{ \forall x (x \in A) \vee x \in B}\)
związana jest tylko zmienna w nawiasie, a druga to formalnie inna zmienna (notabene wolna) pomimo identycznej nazwy.
-
Jakub Gurak
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Książka nie należy do zbioru?
Ostatnie zdanie brzmi dziwnie, bo formalnie ten sam znak, np. \(\displaystyle{ x,}\) użyty w różnych miejscach danej formuły, ma to samo znaczenie, a powtarzające się iksy wyrażają ścisłe związki o których mówi dane twierdzenie.
Oznacza to również, że różne obiekty formalnie trzeba oznaczać różnymi symbolami.
Na tym opiera się cała matematyka( choć, są różne odstępstwa od tej reguły (aby nie mnożyć oznaczeń), ale formalnie nie powinny one mieć miejsca).
Oznacza to również, że różne obiekty formalnie trzeba oznaczać różnymi symbolami.
Na tym opiera się cała matematyka( choć, są różne odstępstwa od tej reguły (aby nie mnożyć oznaczeń), ale formalnie nie powinny one mieć miejsca).
-
krl
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
Re: Książka
W inkryminowanej formule zmienna \(\displaystyle{ x}\) występuje trzy razy i za każdym razem jest to ta sama zmienna \(\displaystyle{ x}\), formalnie ta sama i naprawdę ta sama. Tak samo jak w liczbie \(\displaystyle{ 2023}\) cyfra \(\displaystyle{ 2}\) występuje dwa razy i za każdym razem jest to ta sama cyfra.Jakub Gurak pisze: ↑20 lip 2023, o 21:29 Ostatnie zdanie brzmi dziwnie, bo formalnie ten sam znak, np. \(\displaystyle{ x,}\) użyty w różnych miejscach danej formuły, ma to samo znaczenie, a powtarzające się iksy wyrażają ścisłe związki o których mówi dane twierdzenie.
Wracając do formuły kwantyfikator \(\displaystyle{ \forall x}\) występujący w formule nie wiąże w tej formule po prostu zmiennej \(\displaystyle{ x}\), lecz wiąże każde wystąpienie zmiennej \(\displaystyle{ x}\) w tej formule, które pojawia się w zasięgu tegoż kwantyfikatora.
W pewnym sensie jest prawdą, że "formalnie ten sam znak, np. \(\displaystyle{ x,}\) użyty w różnych miejscach danej formuły, ma to samo znaczenie", mianowicie oznacza on tę samą zmienną \(\displaystyle{ x}\). Warto jednak wskazać, że zmienna \(\displaystyle{ x}\) sama w sobie nie ma określonej wartości (bo jak sama nazwa wskazuje, jest ona zmienną). W różnych procedurach możemy zmiennej nadawać konkretne wartości (z zakresu zmiennosci danej zmiennej). Np. możemy zastanawiać się, czy dla konkretnego \(\displaystyle{ x=a}\) (tzn. w sytuacji, gdy przyjmujemy, że zmienna \(\displaystyle{ x}\) ma konkretną wartość \(\displaystyle{ a}\)) prawdziwa jest formuła \(\displaystyle{ \varphi(x)}\):
\(\displaystyle{ \forall x (x \in A) \vee x \in B}\)
I tu odwołujemy się do interpretacji znaczenia formuł (w istocie do definicji prawdy Tarskiego).
Mianowicie formuła \(\displaystyle{ \varphi(x)}\) jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x=a}\), gd staje się zdaniem prawdziwym, gdy podstawimy w niej \(\displaystyle{ a}\) za każde wolne wystąpienie zmiennej \(\displaystyle{ x}\), tzn. gdy prawdziwe jest zdanie \(\displaystyle{ \varphi(a)}\):
\(\displaystyle{ \forall x (x \in A) \vee a \in B}\)
Jak widać, w zdaniu \(\displaystyle{ \varphi(a)}\) nadal występuje zmienna \(\displaystyle{ x}\), nawet dwa razy, ale każde wystąpienie tej zmiennej jest już związane.