Matematyka.pl

Dodano po 1 dniu 22 godzinach 14 minutach 33 sekundach:
Propozycja uzupełnienia wpisu w Wikipedii

Autor wpisu w Wikipedii wziął sobie do serca niniejszy temat.

Dowód: Mój dodatkowy komentarz do wpisu w Wikipedii: jest następujący.

Autor wpisu przedstawił prawo kontrapozycji dla matematycznego twierdzenia prostego \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\), a zapomniał o różnym na mocy definicji ## prawie kontrapozycji dla matematycznego twierdzenia odwrotnego \(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg p+q}\) ## \(\displaystyle{ q \Rightarrow p = \neg q+p}\)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Tu proponuję uzupełnienie wpisu w Wikipedii jak niżej.

Prawo kontrapozycji dla matematycznego twierdzenia prostego \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\):
\(\displaystyle{ p \Rightarrow q = \neg q \Rightarrow \neg p}\)
##
Prawo kontrapozycji dla matematycznego twierdzenia odwrotnego \(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\):
\(\displaystyle{ q \Rightarrow p = \neg p \Rightarrow \neg q}\)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości logicznej "\(\displaystyle{ =}\)":
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej "\(\displaystyle{ =}\)" wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej "\(\displaystyle{ =}\)" wymusza fałszywość drugiej strony

Uwaga:
Jestem przybyszem ze świata techniki gdzie zachodzi tożsamość znaczków:
"\(\displaystyle{ =}\)" = \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) - tożsamość logiczna (w technice używany jest wyłącznie znaczek "\(\displaystyle{ =}\)")
\(\displaystyle{ +}\) = \(\displaystyle{ \vee}\) - alternatywa (w technice używany jest wyłącznie znaczek \(\displaystyle{ +}\))
\(\displaystyle{ *}\) = \(\displaystyle{ \wedge}\) - koniunkcja ( w technice używany jest wyłącznie znaczek \(\displaystyle{ *}\))

Stąd mamy przykładowo.

Równanie logiczne równoważności:
RLR:
\(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q = (p \Rightarrow q)*(q \Rightarrow p) [=] ( \neg q \Rightarrow \neg p)*( \neg p \Rightarrow \neg q) = \neg p \Leftrightarrow \neg q}\)

Nowy znak tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\) ma tu na celu tylko i wyłącznie doprecyzowanie o którą tożsamość logiczną w poniższym opisie nam chodzi.

Konkretny przykład to równanie logiczne równoważności Pitagorasa:
Podstawmy do RLR:
\(\displaystyle{ p=TP}\)
\(\displaystyle{ q=SK}\)
Stąd mamy:
RLRP:
Równanie logiczne równoważności Pitagorasa:
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP \Rightarrow SK)*(SK \Rightarrow TP) [=] ( \neg SK \Rightarrow \neg TP)*( \neg TP \Rightarrow \neg SK) = \neg TP \Leftrightarrow \neg SK}\)

Część I
Lewa strona tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\) RLRP:
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP \Rightarrow SK)*(SK \Rightarrow TP)}\)
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (\(\displaystyle{ TP}\)) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (\(\displaystyle{ SK}\))
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK}\)
Całość czytamy:
Definicja równoważności Pitagorasa \(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK}\) dla trójkątów prostokątnych (\(\displaystyle{ TP}\)):
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP \Rightarrow SK)*(SK \Rightarrow TP)}\)
Równoważność Pitagorasa \(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK}\) dla trójkątów prostokątnych (\(\displaystyle{ TP}\)) to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (\(\displaystyle{ TP}\))
\(\displaystyle{ TP \Rightarrow SK =1}\)
##
oraz twierdzenia odwrotnego Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (\(\displaystyle{ TP}\))
\(\displaystyle{ SK \Rightarrow TP =1}\)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Uwaga:
Twierdzenie proste Pitagorasa \(\displaystyle{ TP \Rightarrow SK}\) i twierdzenie odwrotne Pitagorasa \(\displaystyle{ SK \Rightarrow TP}\) matematycy udowodnili wieki temu.

Część II
Prawa strona tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\) RLRP:
\(\displaystyle{ \neg TP \Leftrightarrow \neg SK = ( \neg TP \Rightarrow \neg SK)*( \neg SK \Rightarrow \neg TP)}\)
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest nieprostokątny ( \(\displaystyle{ \neg TP}\)) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów ( \(\displaystyle{ \neg SK}\))
\(\displaystyle{ \neg TP \Leftrightarrow \neg SK}\)
Całość czytamy:
Definicja równoważności Pitagorasa \(\displaystyle{ \neg TP<=> \neg SK}\) dla trójkątów nieprostokątnych ( \(\displaystyle{ \neg TP}\)):
\(\displaystyle{ \neg TP \Leftrightarrow \neg SK = ( \neg TP \Rightarrow \neg SK)*( \neg SK \Rightarrow \neg TP)}\)
Równoważność Pitagorasa \(\displaystyle{ \neg TP \Leftrightarrow \neg SK}\) dla trójkątów nieprostokątnych (\(\displaystyle{ \neg TP}\)) to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych ( \(\displaystyle{ \neg TP}\))
\(\displaystyle{ \neg TP \Rightarrow \neg SK =1}\)
##
oraz twierdzenia odwrotnego Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych ( \(\displaystyle{ \neg TP}\))
\(\displaystyle{ \neg SK \Rightarrow \neg TP =1}\)

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
RLRP:
Równanie logiczne równoważności Pitagorasa:
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP \Rightarrow SK)*(SK \Rightarrow TP) [=] ( \neg SK \Rightarrow \neg TP)*( \neg TP \Rightarrow \neg SK) = \neg TP \Leftrightarrow \neg SK}\)

Zauważmy, że po udowodnieniu lewej strony powyższej tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\) RLRP:
1: \(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP \Rightarrow SK)*(SK \Rightarrow TP)}\)
co ludzkość zrobiła wieki temu.

Nie musimy dowodzić prawdziwości prawej strony tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\) RLRP:
2: \(\displaystyle{ \neg TP \Leftrightarrow \neg SK = ( \neg TP \Rightarrow \neg SK)*( \neg SK \Rightarrow \neg TP)}\)

Bowiem prawdziwość zapisu 2 gwarantuje nam tu równanie logiczne równoważności Pitagorasa (RLRP) oraz definicja tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\).
RLRP:
Równanie logiczne równoważności Pitagorasa:
\(\displaystyle{ TP \Leftrightarrow SK = (TP \Rightarrow SK)*(SK \Rightarrow TP) [=] ( \neg SK \Rightarrow \neg TP)*( \neg TP \Rightarrow \neg SK) = \neg TP \Leftrightarrow \neg SK}\)

Definicja tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\):
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\) wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej \(\displaystyle{ [=]}\) wymusza fałszywość drugiej strony