Matematyka.pl

Dzisiaj czytałem artykuł pewnego prominentnego, polskiego filozofa. W tym artykule autor stwierdził, że

Negatywne zdania egzystencjalne nie dają się udowodnić z powodów czysto logicznych, chyba że wynikają z innych zdań o nieistnieniu, np. zdanie "Nie istnieją duże kwadratowe koła" wynika ze zdania "Nie istnieją kwadratowe koła". Wszelako tak naprawdę dowodzimy prawdziwości zdania "Nie istnieją kwadratowe koła", wykazując że predykat "jest kwadratowym kołem" jest sprzeczny i jako taki nie wyznacza zbioru niepustego.

Dla kontekstu dodam, że chodzi o dwa zdania:
1. Istnieje takie \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ x}\) jest Bogiem.
2. Nie istnieje takie \(\displaystyle{ x}\), że \(\displaystyle{ x}\) jest Bogiem.

Autor twierdzi, że ciężar dowodu stoi po stronie teisty, bo negatywnego zdania egzystencjalnego (2.) nie daje dowodzić z powodów czysto logicznych.

Moje pytania są następujące:
(A) Co to za czysto logiczne powody?
(B) Nie mogę się oprzeć wrażeniu, że nie rozumiem wypowiedzi autora. Z jednej strony twierdzi, że nie można dowodzić negatywnych zdań egzystencjalnych, chyba, że wynikają z innych negatywnych zdań egzystencjalnych - a z drugiej strony sam dowodzi takiego zdania, cytuję: "dowodzimy prawdziwości zdania "Nie istnieją kwadratowe koła", wykazując że predykat "jest kwadratowym kołem" jest sprzeczny i jako taki nie wyznacza zbioru niepustego".
Wydaje mi się, że tu jest jakieś nieopisane przejście. Zakładam, że filozof ma większe pojęcie o logice od przeciętnego studenta matematyki (ode mnie) - więc pewnie ja czegoś nie widzę. Mógłby mi ktoś wyjaśnić?

Jak najbardziej można dowodzić zdania o nieistnieniu elementów o podanych własnościach. Rzecz raczej w tym, że ciężko to zrobić rozumowaniem wprost (bo jakim cudem??). Zazwyczaj robi się to dowodem nie wprost przypuszczając, że istnieje taki element o podanych własnościach i doprowadzamy rozumowanie do sprzeczności.
Np. wiedząc, że nie istnieją kwadratowe koła, z tego wynika, że nie istnieją duże kwadratowe koła, bo gdyby istniało duże kwadratowe koło, to z prawa mówiącego, że z koniunkcji dwóch zdań wynika każdy jej składnik, więc możemy wnioskować, że jest to kwadratowe koło, a, na mocy założenia, nie istnieją kwadratowe koła- sprzeczność.

(Istnienie elementu o podanych własnościach też wymaga uwagi...).

Ja z tezą tego prominentnego filozofa się nie zgodzę, bo ciężko mi wyobrazić sobie, czym są te powody czysto logiczne. Język naturalny pozwala na prowadzenie rozumowań dedukcyjnych (które mniej lub bardziej przypominają rozumowania według systemów formalnych) i nic nie stoi na przeszkodzie, żeby dowodzić zdań, które autor nazywa negatywnymi zdaniami egzystencjalnymi. Oczywiście najczęściej trzeba oprzeć się na jakichś przesłankach (chyba, że zdanie jest tautologiczne), ale przecież to samo dotyczy zdań typu egzystencjalnego.

Również ciężko mi wyobrazić sobie interpretację tej tezy w ramach jakiegoś systemu formalnego. Na przykład w logice pierwszego rzędu zdania

\(\displaystyle{ \exists_x A(x)}\)
\(\displaystyle{ \neg \exists_x A(x),}\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest predykatem, oba są niedowodliwe, jeśli teoria nie posiada aksjomatów właściwych.

Bran pisze: ↑6 cze 2023, o 20:00 Moje pytania są następujące:
(A) Co to za czysto logiczne powody?
(B) Nie mogę się oprzeć wrażeniu, że nie rozumiem wypowiedzi autora. Z jednej strony twierdzi, że nie można dowodzić negatywnych zdań egzystencjalnych, chyba, że wynikają z innych negatywnych zdań egzystencjalnych - a z drugiej strony sam dowodzi takiego zdania, cytuję: "dowodzimy prawdziwości zdania "Nie istnieją kwadratowe koła", wykazując że predykat "jest kwadratowym kołem" jest sprzeczny i jako taki nie wyznacza zbioru niepustego".
Wydaje mi się, że tu jest jakieś nieopisane przejście. Zakładam, że filozof ma większe pojęcie o logice od przeciętnego studenta matematyki (ode mnie) - więc pewnie ja czegoś nie widzę. Mógłby mi ktoś wyjaśnić?

Filozofowie często wypowiadaja się nieściśle. Przede wszystkim sądzę, że "prominentnemu filozofowi" (PF) nie chodzilo o dowody w systemie formalnym, lecz dowody/argumenty na rzecz prawdziwości danej tezy w świecie realnym.
ad (A): Nie możemy udowodnić nieistnienia bytu X w świecie realnym, chyba że istnienie bytu X jest logicznie sprzeczne (tako rzecze PF). Przyczyna "logiczna": nie można wykluczyć, że świat jest większy niż ten dostępny naszej obserwacji i że w tym większym świecie np. prawa fizyki obserwowane przez nas nie wszędzie obowiązują.
Zazwyczaj jednak w praktycznych dyskursach ograniczamy ich formalne ramy, np. do ram naukowych czy fizycznych, czy też do pewnej teorii. W tym sensie można powiedzieć, że w świecie fizycznym [tzn. w świecie, o którym zakładamy, że spełnia prawa naszej fizyki] nie ma Boga. I tak też robią teologowie chrześcijańscy, wyraźnie wyróżniajac swiat fizyczny jako część szerszej rzeczywistości, niepodlegającej doświadczeniu zmysłowemu, i traktując Boga jako byt transcendentny w stosunku do rzeczywistości fizycznej.
W pewnym zakresie bronię prawa filozofów do nieścisłości. Dzięki temu są oni w stanie dotknać kwestii na granicy możliwości poznania, na granicy możliwości werbalizacji.