Matematyka.pl

Sygnatura języka \(\displaystyle{ \mathcal{J}}\) składa się z jednoargumentowych symboli relacyjnych
$$\mathrm{g}, \mathrm{s},\mathrm{c}$$
Teoria pierwszego rzędu \(\displaystyle{ \mathbb{RK}}\) w \(\displaystyle{ \mathcal{J}}\) ma następujące aksjomaty
\(\displaystyle{ A1}\): \(\displaystyle{ \forall_x\,\mathrm{c}(x)}\)
\(\displaystyle{ A2}\): \(\displaystyle{ \forall_x\,\left(\mathrm{c}(x)\,\Rightarrow\,\mathrm{g}(x)\right)}\)
\(\displaystyle{ A3}\): \(\displaystyle{ \exists_x\,\mathrm{s}(x)}\)
\(\displaystyle{ A4}\): \(\displaystyle{ \forall_x\,\left(\mathrm{s}(x)\,\Rightarrow\,\neg \mathrm{g}(x)\right)}\)


Bardzo proszę rozwiązać poniższe problemy.
1. Wykazać za pomocą jednego z wielu równoważnych klasycznych systemów dedukcyjnych (bez odwoływania się do twierdzenia o pełności klasycznej logiki pierwszego rzędu), że \(\displaystyle{ \mathbb{RK}}\) jako teoria logiki klasycznej pierwszego rzędu jest sprzeczna.
2. Czy \(\displaystyle{ \mathbb{RK}}\) jest sprzeczna jako teoria logiki intuicjonistycznej pierwszego rzędu? Tutaj można skorzystać np. z semantyki Kripkego.

Oczywiście nagordzę wszystkie poprawne (nawet cząstkowe) rozwiązania punktami pomógł.
Z całego serca wszystkim błogosławię!

Drugi aksjomat czemu ma to być prawdą?

Arku, aksjomat to aksjomat, a pytanie 1. jest syntaktyczne.

JK

Gdyby A2 był prawda, to człowieka by zęby nie bolały. Wnioskuję zatem, że, A2 nie jest aksjomatem ludzkim, lecz diabelskim ( lub boskim, co na jedno wychodzi)

A pomyślałeś o tym, że gdyby nie bolały, to mógłbyś wsuwać mnóstwo jakże dobrych słodyczy, a o tym, że zęby Ci się psują dowiedziałbyś się dopiero wtedy, gdy zakażenie rozwinęłoby się w sepsę?

JK

PS Nie wiem, jak długo ten temat utrzyma się w dziale "Logika"...

A dlaczego miałaby być sepsa, skoro Bóg robi same dobre rzeczy

Bóg robi same dobre rzeczy

Ale są inni:

- Slup

-a4Karo

- diabeł

Oni robią złe rzeczy np. wywołują sepse...

Chyba ci się już wszystko zajączkuje. W końcu wszystko pochodzi od Boga, więc sepsa też. A ja, drobny żuczek, mogę ją tylko złapać

Bóg potrafi wykonać każdą rzecz (wszystko)

Skoro Bóg potrafi wykonać wszystko znaczy, że potrafi zrobić coś czego by sam nie umiał zrobić...

Istnieje więc coś czego Bóg nie potrafi zrobić

Z tego, że Bóg czegoś nie potrafi wykonać wynika, że nieprawdą jest, że nie może wykonać , czyli może ją wykonać...

Zadanie 1.

Lemat.Dla dowolnego języka pierwszego rzędu, dla dowolnych formuł \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz zmiennej \(\displaystyle{ x}\) tego języka zachodzi
\(\displaystyle{ \vdash \forall_x ( A \rightarrow B) \rightarrow \left(\exists_x A \rightarrow \exists_x B\right)}\).


Zauważmy, że aksjomaty \(\displaystyle{ \RR\mathbb K}\) są równoważne następującym:

\(\displaystyle{ A1.\, c(x)}\)
\(\displaystyle{ A2. \, c(x)\rightarrow g(x)}\)
\(\displaystyle{ A3.\, \exists_x s(x)}\)
\(\displaystyle{ A4.\, s(x) \rightarrow \neg g(x)}\)

Udowodnimy w teorii \(\displaystyle{ \RR\mathbb K}\) następującą formułę:

\(\displaystyle{ \forall_x \left(s(x) \rightarrow (g(x) \wedge \neg g(x))\right)}\).

1. \(\displaystyle{ s(x)}\) - założenie
2. \(\displaystyle{ g(x)}\) - reguła odrywania, A2, A1
3. \(\displaystyle{ \neg g(x)}\) - reguła odrywania, A4, 1
4. \(\displaystyle{ g(x) \rightarrow ( \neg g(x)\rightarrow (g(x) \wedge \neg g(x)) )}\) - podstawienie tautologii rachunku zdań
5. \(\displaystyle{ \neg g(x)\rightarrow (g(x) \wedge \neg g(x))}\) - reguła odrywania, 4, 2
6. \(\displaystyle{ g(x) \wedge \neg g(x)}\) - reguła odrywania, 5, 3
7. \(\displaystyle{ s(x) \rightarrow (g(x) \wedge \neg g(x))}\) - twierdzenie o dedukcji, 1-6
8. \(\displaystyle{ \forall_x \left(s(x) \rightarrow g(x) \wedge \neg g(x)\right)}\) - reguła generalizacji, 7
Na postawie lematu, udowodnionej formuły, aksjomatu A3 i dwukrotnego zastosowania reguły odrywania otrzymujemy w teorii \(\displaystyle{ \RR\mathbb K}\) jako twierdzenie następującą formułę

\(\displaystyle{ \exists_x (g(x) \wedge \neg g(x))}\),

czyli zgodnie z definicją symbolu \(\displaystyle{ \exists}\) jest to

\(\displaystyle{ \neg \forall_x \neg(g(x) \wedge \neg g(x))}\).

Z drugiej strony formuła

\(\displaystyle{ \forall_x \neg(g(x) \wedge \neg g(x))}\)

daje się udowodnić w rachunku predykatów. Zatem \(\displaystyle{ \mathbb R\mathbb K}\) jest sprzeczna.

\(\displaystyle{ RK}\) jest sprzeczny również w intuicjonistycznej logice pierwszego rzędu. Najprościej można to uzasadnić wskazując, że nie ma on modelu Kripkego. Można też wskazać dowód sprzeczności, np. w oparciu o aksjomaty z

(*) Mianowicie:

Z aksjomatów A1 - A4 wnioskujemy na mocy aksjomatu \(\displaystyle{ \forall x A(x)\rightarrow A(t)}\) z (*) i reguły odrywania MP :

A1'. \(\displaystyle{ c(x)}\)
A2'. \(\displaystyle{ c(x)\rightarrow g(x)}\)
A4'. \(\displaystyle{ s(x)\rightarrow \neg g(x)}\)

Z aksjomatów z (*) dotyczących rachunku zdań oraz z A1', A2' i A4' , stosując MP dostajemy:

\(\displaystyle{ s(x)\rightarrow \bot}\)

Stosując regułę eliminacji \(\displaystyle{ \exists}\) z (*) dostajemy

(**) \(\displaystyle{ (\exists x) s(x)\rightarrow\bot}\)

Z (**) i A3, stosując MP dostajemy \(\displaystyle{ \bot}\).

Wesołych Świąt Wielkiej Nocy!