żS-7, od: *Kasia, zadanie 4

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-7, od: *Kasia, zadanie 4

Post autor: Liga »

*Kasia pisze:Zadanie 4:
Ze zbioru liczb \(\displaystyle{ X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}}\) losujemy kolejno dwie liczby (bez zwracania).

1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń:
* A - suma wylosowanych liczb jest większa od 8
* B - za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą.
2. Czy zdarzenia A i B są niezależne?
3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb wylosowanych jest większa od 8, jeżeli za pierwszym razem wyciągnięto liczbę parzystą?

Rozwiązanie:

Ad 1
Wszystkich zdarzeń: \(\displaystyle{ \frac{6!}{4!}=6\cdot 5=30}\)
a) Zdarzeń sprzyjających: \(\displaystyle{ 8}\): (3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}}\)
b) Zdarzeń sprzyjających: \(\displaystyle{ 3\cdot 5=15}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}}\)

Ad 2
Zdarzenia A i B są niezależne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)}\)
\(\displaystyle{ A\cap B}\): zdarzeń sprzyjających: 5: (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5).
\(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)=\frac{4}{15}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{15}\\
P(A)\cdot P(B)\neq (A\cap B)}\)


Ad 3
I sposób: Prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}}\)
II sposób: Wszystkich zdarzeń: \(\displaystyle{ 3\cdot 5=15}\)
Sprzyjających: \(\displaystyle{ 5}\): (4,5), (4,6), (6,3), (6,4), (6,5).
\(\displaystyle{ P(A|B)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}}\).

Odpowiedź: \(\displaystyle{ P(A)=\frac{4}{15},\ P(B)=\frac{1}{2},\ P(A|B)=\frac{1}{3}}\), zdarzenia A i B nie są niezależne.
Ostatnio zmieniony 18 lis 2007, o 21:00 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-7, od: *Kasia, zadanie 4

Post autor: scyth »

no i brawo, chyba *Kasia najładniej rozwiązała wszystkie zadania z tej serii. Za to oczywiście 4/4.
ODPOWIEDZ