Matematyka.pl

*Kasia pisze:Oblicz cosinus kąta ostrego między przekątnymi prostokąta, którego wierzchołkami są punkty wspólne krzywych o równaniach:
\(\displaystyle{ x^2+2y^2=24 \\ x^2-2y^2=8.}\)

Rozwiązanie:
Najpierw znajdzmy współrzedne wierzchołków prostokąta:
\(\displaystyle{ x^2+2y^2=24\\
x^2-2y^2=8\\
\\
x^2=16\\y^2=4\\
\\
x\in\{-4;2\}\ \ y\in\{-2;2\}}\)
Zatem wierzchołki prostokąta:
\(\displaystyle{ A=(-4;-2);\ B=(4;-2);\ C=(4;2);\ D=(-4;2)}\)
Kat miedzy przekatnymi oznaczmy jako \(\displaystyle{ 2\alpha}\), wtedy kat miedzy przekatna i dluzszym bokiem wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=(\frac{CD}{BD})^2-(\frac{BC}{BD})^2=(\frac{8}{\sqrt{8^4+4^2}})^2-(\frac{4}{\sqrt{8^4+4^2}})^2=\frac{64-16}{8^4+4^2}=\frac{48}{80}=\frac{3}{5}}\)

Odpowiedz: Cosinus kąta miedzy przekątnymi tego prostokąta wynosi 0,6.