*Kasia pisze:Zadanie 1
Znaleźć współrzędne wierzchołka C trójkąta równoramiennego ABC, gdzie \(\displaystyle{ A(2,0), \ B(0,2)}\), wiedząc, że środkowe tego trójkąta AD i BE są do siebie prostopadłe.
Rozwiązanie:
Oczywiste jest, że ramionami tego trójkąta są boki AC i BC (w przeciwnym wypadku jedna z danych środkowych byłaby prostopadła do podstawy, co prowadziłoby do sprzeczności).
Czyli dane środkowe są poprowadzone z wierzchołków przy podstawie. Z tego wynika, że kąty między podstawą a środkowymi wynoszą \(\displaystyle{ 45^o}\) (suma miar kątów między jedną środkową i podstawą, drugą środkową i podstawą oraz między środkowymi musi wynosić \(\displaystyle{ 180^o}\) - suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie).
Prosta, na której leżą punkty A i B ma równanie \(\displaystyle{ y=-x+2}\) (łatwo to wyliczyć podstawiając wartości odciętej i rzędnej obu punktów do równania ogólnego prostej i rozwiązując układ równań).
Ponieważ środkowe są nachylone pod kątem \(\displaystyle{ 45^o}\) do postawy, to:
środkowa AD należy do: \(\displaystyle{ x=2}\);
środkowa BE należy do: \(\displaystyle{ y=2}\).
Punkt ich przecięcia to O (2,2). Wiadomo, że środkowe przecinają się tak, że dzielą się w stosunku 1:2 licząc od boku trójkąta.
Z tego i równań prostych, do których należą środkowe wynika, że:
\(\displaystyle{ D(2;\frac{3}{2}(2-0));\ D(2;3);\\
E(\frac{3}{2}(2-0);2);\ E(3,2)}\)
Punkt C jest taki, że \(\displaystyle{ BD=DC}\) oraz C leży na prostej BD. Zatem:
\(\displaystyle{ C(0+2(2-0);2+2(3-2));\ C(4;4)}\)
Odpowiedź: Aby trójkąt ABC spełniał warunki zadania, współrzędne punktu C muszą być równe: \(\displaystyle{ C(4,4)}\).
S-8, od: *Kasia, zadanie 1
-
- Gość Specjalny
- Posty: 168
- Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Forum Matematyka.pl
S-8, od: *Kasia, zadanie 1
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11495
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3159 razy
- Pomógł: 749 razy
S-8, od: *Kasia, zadanie 1
ale rozw są dwa! tj \(\displaystyle{ C(4, 4)}\) lub \(\displaystyle{ C(-2, -2)}\)
bo nie zrobiła rysunku,....
bo nie zrobiła rysunku,....
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11495
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3159 razy
- Pomógł: 749 razy