Oblicz cosinus kąta ostrego między przekątnymi prostokąta, którego wierzchołkami są punkty wspólne krzywych o równaniach:
\(\displaystyle{ x^2+2y^2=24 \\ x^2-2y^2=8.}\)
Romb o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) i boku \(\displaystyle{ a}\) podzielono odcinkami poprowadzonymi z wierzchołka tego kąta na trzy części o równych polach. Wyznacz długości tych odcinków.
__________
Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 28 października) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:
Żeby równanie miało dwa pierwiastki różnych znaków muszą być spełnione warunki: \(\displaystyle{ \begin{cases} 2m+3 \neq 0 \\ \Delta_x >0 \\ x_1 x_2 < 0 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq -1\frac{1}{2} \\ m^2-4 \cdot (2m+3)\cdot (-m) >0 \\ \frac{-m}{2m+3}< 0 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq -1\frac{1}{2} \\ m^2 + 8m^2+ 12m >0 \\ -m\cdot(2m+3)< 0 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq -1\frac{1}{2} \\ m(9m+ 12) >0 \\ m(2m+3)> 0 \end{cases}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq -1\frac{1}{2} \\ m\in (-\infty , -1\frac{1}{3}) \cup (0,+\infty) \\ m \in (-\infty , -1\frac{1}{2}) \cup (0,+\infty) \end{cases}}\) \(\displaystyle{ m \in \left(-\infty , -1\frac{1}{2}\right) \cup (0,+\infty)}\)
Odpowiedź: Równanie \(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1}+m=0}\) ma dwa pierwiastki różnych znaków dla \(\displaystyle{ m \in \left(-\infty , -1\frac{1}{2}\right) \cup (0,+\infty)}\)
Najpierw dziedzina: \(\displaystyle{ \mathbb{D}: x \geq 0 \wedge y>0}\)
Pozbywamy się niewymierności z pierwszego mianownika z pierwszego równania: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x}}{y}-\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}{y} =\frac{3}{8} \\ \frac{2\sqrt{x}}{y}=\frac{3}{8} \\ 16\sqrt{x}=3y}\)