Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=Ax^{2}+x+B\ln(x).}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) jeśli wiemy, że \(\displaystyle{ f(1)=2, \, f^\prime(1)=4.}\)
Dla jakich \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\)\(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum w punktach \(\displaystyle{ x=1}\) i \(\displaystyle{ x=2\mbox}\)?
Jakie muszą być \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B,}\) aby \(\displaystyle{ f}\) była rosnąca na całej dziedzinie?
Wykaż metodą indukcji, że dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) liczba \(\displaystyle{ m_{n}=3^{2n+1}+40n-67}\) jest podzielna przez 64. Potem uzasadnij, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ m_{n}}\) dzieli się przez 5.
Chcemy sporządzić lejek w kształcie stożka o tworzącej równej \(\displaystyle{ 2\mbox{dm}.}\) Jaka powinna być jego wysokość, aby objętość była największa?
Na okręgu umieszczono \(\displaystyle{ 10}\) liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x_{j}}\) o sumie równej \(\displaystyle{ 100}\) ale tak, że po dodaniu dowolnych trzech kolejnych z nich, otrzyma się co najmniej \(\displaystyle{ 29.}\) Niech \(\displaystyle{ a}\) to będzie maksimum spośród wszystkich \(\displaystyle{ x_{j}.}\) Znajdź możliwie największa wartość \(\displaystyle{ a.}\)
__________
Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 14 października) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:
Niech \(\displaystyle{ h}\) - wysokość lejka, \(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy lejka.
Wtedy \(\displaystyle{ r=\sqrt{4-h^2}}\) dla h należącego do przedziału (0,2)
Zatem objętość lejka to \(\displaystyle{ V(h)=\frac{1}{3}\pi ft(4-h^2\right)h}\) \(\displaystyle{ V'(h)=\frac{1}{3}\pi ft(-3h^2+4\right).}\) \(\displaystyle{ V'(h)=0}\) wtedy gdy \(\displaystyle{ h=\tfrac{2}{\sqrt{3}}}\) lub \(\displaystyle{ h=-\tfrac{2}{\sqrt{3}}}\) drugą możliwość odrzucamy, gdyż nie spełnia warunków zadania \(\displaystyle{ V''(h)=-2h\pi}\) \(\displaystyle{ V''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)}\)