Obliczyć drugi wyraz ciągu \(\displaystyle{ 3^{x_{1}}, 3^{x_{2}}, 3^{x_{3}},\ldots}\) wiedząc, że jest to ciąg geometryczny i że \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{11}=55}\) oraz \(\displaystyle{ x_{5}=4.}\)(5pkt.)
Wykaż, że dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\) różnych od zera i takich, że liczby \(\displaystyle{ a_{1}^{3}, a_{2}^{3}, a_{3}^{3}}\) tworzą ciąg arytmetyczny, spełniona jest równość:
Sprawdź, czy punkt przecięcia wysokości, punkt przecięcia środkowych oraz środek koła opisanego na tym trójkącie leżą na jednej prostej? (5pkt.)
W każdej z dziesięciu jednakowych urn \(\displaystyle{ U_{1}, U_{2},\ldots ,U_{10}}\) znajduje się 10 kul, przy czym w urnie o numerze \(\displaystyle{ n}\) (\(\displaystyle{ 1 qslant n qslant 10}\)) jest \(\displaystyle{ n}\) kul białych i \(\displaystyle{ 10-n}\) kul czarnych. Sięgamy losowo do jednej z urn i losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej? (5pkt.)
__________
Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 30 września) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:
Ponieważ ciąg \(\displaystyle{ 3^{x_{1}}, 3^{x_{2}}, 3^{x_{3}},\ldots}\) jest geometryczny, o ilorazie \(\displaystyle{ q}\), to ciąg \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2},\ldots}\) jest arytmetyczny, gdyż:
\(\displaystyle{ \frac{3^{x_{n+1}}}{3^{x_{n}}}=q>0}\) dla \(\displaystyle{ n=1, 2,\ldots}\)
Stąd \(\displaystyle{ x_{n+1}-x_{n}=log_{3}{q}=r.}\)
Ciąg \(\displaystyle{ \left(x_{n}\right)}\) spełnia więc wzór:
Jeżeli \(\displaystyle{ r=0}\), to \(\displaystyle{ a_{1}=a_{2}=a_{3}}\) i równość jaką mamy dowieść jest prawdziwa. Niech więc \(\displaystyle{ r\neq 0.}\) Tak więc liczby \(\displaystyle{ a_{1}, a_{2}, a_{3}}\) są parami różne i zgodnie z wzorem
Niech \(\displaystyle{ B_{1},C_{1}}\) będą spodkami wysokości trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) na boki \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AB}\) odpowiednio. Równanie prostej \(\displaystyle{ AC}\) jest \(\displaystyle{ x-3y+19=0}\), zaś \(\displaystyle{ AB}\) jest \(\displaystyle{ x+7y-61=0}\). Z kolei liczymy równania prostych:
Punkt \(\displaystyle{ W(-3,12)}\) jest punktem przecięcia wysokości. Równanie okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC:}\)\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+kx+ly+m=0}\). Punkty \(\displaystyle{ A, B, C}\) spełniają to równanie, co daje układ równań:
Rozwiązując go otrzymamy, że \(\displaystyle{ k=-2, l=-10, m=1.}\) Równaniem okręgu jest więc \(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-5)^{2}=25.}\) Jego środek \(\displaystyle{ S(1,5),}\) prosta \(\displaystyle{ SW}\) jest opisana: \(\displaystyle{ 7x+4y=27.}\) Łatwo sprawdzić, ze punkt \(\displaystyle{ P\left(-\frac{1}{3},\frac{22}{3}\right),}\) który jest punktem przecięcia środkowych należy do prostej SW.
Jak widać, prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(U_{n})}\) wylosowania każdej z dziesięciu urn \(\displaystyle{ U_{n}}\), \(\displaystyle{ n=1, 2,\ldots ,10}\) jest takie samo i równe \(\displaystyle{ \tfrac{1}{10}.}\) Z treści zadania wynika, że \(\displaystyle{ P(cz|U_{n})=\tfrac{10-n}{10}.}\)
Korzystając z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym mamy: \(\displaystyle{ P(cz)=\sum_{n=1}^{10} P(cz|U_{n})P(U_{n})= \sum_{n=1}^{10} \frac{10-n}{10}\cdot\frac{1}{10}=\frac{1}{100}(9+8+\ldots+1+0)=\frac{45}{100}.}\)