Matematyka.pl

Zaznacz następujące zbiory na płaszczyźnie zespolonej :
\(\displaystyle{ S=\left\{ z\in \CC:\Im ((2+i)(3+5i)) \ge |z-(3+i)^*| \ge |\sqrt{5}+2i|,Arg(3-i) \le \arg(z) \le Arg(e^{i \frac{\pi}{2}}) \right\} }\)

Proszę o sprawdzenie poniższego rozwiązania:
Według mnie rozwiązaniem będzie cześć wspólna pierścienia o środku w punkcie \(\displaystyle{ 3+i}\) i promieniach \(\displaystyle{ 3}\) wewnętrznym i \(\displaystyle{ 13}\) zewnętrznym oraz obszaru kątowego ograniczonego półprostymi \(\displaystyle{ \Re(z) \ge 0 \wedge \Im z \ge -\frac{1}{3}\Re z}\) zawartego w pierwszej i czwartej ćwiartce.

Dobrze?

zwróć uwagę, że tam jest \(\displaystyle{ (3+i)^{*} = 3 - i}\)

\(\displaystyle{ \textbf S = \{ z\in \CC: \Im(2+i)(3+5i) \geq |z-(3+i)^{*}| \geq |\sqrt{5} +2i|, \ \ Arg(3-i)\leq arg(z) \leq Arg (e^{i\frac{\pi}{2}}) \}.}\)

\(\displaystyle{ \Im(2+i)(3+i) = \Im( 6 + 10i +3i -5) = \Im(1 + 13i) = 13. }\)

\(\displaystyle{ |z -(3+i)^{*}| = |x + iy -(3-i)| = |(x-3) + i(y+1)| = \sqrt{(x-3)^2 + (y+1)^2} \geq |\sqrt{5}+ 2i| = \sqrt{\sqrt{5^2} + 2^2} = \sqrt{9} = 3.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \textbf S = \left \{z\in \CC: 13 \geq \sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2} \geq 3 \wedge Arg(3-i) \leq \arg(z) \leq \frac{\pi}{2} \right \} }\)

Jest to element pierścienia domkniętego o promieniu wewnętrznym \(\displaystyle{ 3 }\) i zewnętrznym \(\displaystyle{ 13 }\) o końcach \(\displaystyle{ z = 3-i }\) (w IV ćwiartce) i osi \(\displaystyle{ \Im(z). }\)