\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{z^{*}z^{k}} + \frac{1}{z(z^{*})^{k}} : z \in \CC, z \not = 0, k \in \NN \right\} }\)
Robiłem to tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z^{*}z^{k}} + \frac{1}{z(z^{*})^{k}} = \frac{(z^{*})^{k-1} + z^{k-1}}{(zz^{*})^{k}}}\)
\(\displaystyle{ z = r(\cos \phi + i \sin \phi) \quad z^{*} = r(\cos \phi - i \sin \phi) = r(\cos \phi + i \sin - \phi)}\)
\(\displaystyle{ zz^{*} = r^2(\cos (\phi + \phi)+ i \sin (\phi - \phi)) = r^{2}\cos 2\phi}\)
\(\displaystyle{ \frac{(z^{*})^{k-1} + z^{k-1}}{(zz^{*})^{k}} = \frac{r^{k-1}(\cos ((k-1)\phi) - i \sin ((k-1)\phi)) + r^{k-1}(\cos ((k-1)\phi) + i \sin ((k-1)\phi))}{r^{2k}\cos 2k \phi} = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{r^{k-1}2 \cos ((k-1)\phi)}{r^{2k}\cos 2k \phi} = \frac{2 \cos ((k-1)\phi)}{r^{k+1}\cos 2k \phi}}\)
i dalej nie wiem co zrobić
Z góry dziękuje za pomoc
Dodano po 21 godzinach 27 minutach 4 sekundach:
Z postacią postacią wykładniczą jest prościej:
\(\displaystyle{ z = re^{i\phi} \quad z^{*} = re^{-i\phi} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z^{*}z^{k}} + \frac{1}{z(z^{*})^{k}} = \frac{1}{r^{k+1}e^{i(k-1)\phi}} + \frac{1}{r^{k+1}e^{-i(k-1)\phi}} = }\)
\(\displaystyle{ = r^{-(k+1)}e^{-i(k-1)\phi} + r^{-(k+1)}e^{i(k-1)\phi} = r^{-(k+1)} \left ( e^{i(k-1)\phi} + e^{-i(k-1)\phi} \right ) = }\)
\(\displaystyle{ = r^{-(k+1)}2 \cos ((k-1)\phi ) }\)
jest to liczba rzeczywista, więc teraz trzeba sprawdzić czy można tak przedstawić całą oś na płaszczyźnie Gaussa
\(\displaystyle{ a \in \RR }\)
\(\displaystyle{ a > 0 \quad r = \sqrt[k+1]{\frac{2}{a}} \quad \cos \phi = 1 \quad \rightarrow \quad \phi = 0 + 2k\pi \quad f(r,\phi ) = a}\)
\(\displaystyle{ a < 0 \quad r = \sqrt[k+1]{\frac{-2}{a}} \quad \cos \phi = -1 \quad \rightarrow \quad \phi = \pi + 2k\pi \quad f(r,\phi ) = a}\)
\(\displaystyle{ a = 0 \quad \cos \phi = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{\pi}{2} + k\pi \quad f(r,\phi ) = a}\)
można przedstawić zbiór rzeczywisty, więc odpowiedzią będzie oś Re(z)
Dodano po 7 minutach 38 sekundach:
tu jest błąd ponieważ
\(\displaystyle{ z * z^{*} = r(\cos (\phi) + i \sin (\phi)) * r(\cos (\phi) - i \sin (\phi)) = r^{2}(\cos^{2} (\phi) - i^{2} \sin^{2} (\phi)) = r^{2}}\)
\(\displaystyle{ z + z^{*} = r(\cos (\phi) + i \sin (\phi)) + r(\cos (\phi) - i \sin (\phi)) = r\cos 2\phi}\)
wtedy wszystko sprowadza się do tej samej postaci jak za pomocą wykładniczej