Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Isdre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 28 gru 2021, o 17:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 10 razy

Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór

Post autor: Isdre »

Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{z^{*}z^{k}} + \frac{1}{z(z^{*})^{k}} : z \in \CC, z \not = 0, k \in \NN \right\} }\)
Robiłem to tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{z^{*}z^{k}} + \frac{1}{z(z^{*})^{k}} = \frac{(z^{*})^{k-1} + z^{k-1}}{(zz^{*})^{k}}}\)
\(\displaystyle{ z = r(\cos \phi + i \sin \phi) \quad z^{*} = r(\cos \phi - i \sin \phi) = r(\cos \phi + i \sin - \phi)}\)
\(\displaystyle{ zz^{*} = r^2(\cos (\phi + \phi)+ i \sin (\phi - \phi)) = r^{2}\cos 2\phi}\)
\(\displaystyle{ \frac{(z^{*})^{k-1} + z^{k-1}}{(zz^{*})^{k}} = \frac{r^{k-1}(\cos ((k-1)\phi) - i \sin ((k-1)\phi)) + r^{k-1}(\cos ((k-1)\phi) + i \sin ((k-1)\phi))}{r^{2k}\cos 2k \phi} = }\)
\(\displaystyle{ = \frac{r^{k-1}2 \cos ((k-1)\phi)}{r^{2k}\cos 2k \phi} = \frac{2 \cos ((k-1)\phi)}{r^{k+1}\cos 2k \phi}}\)
i dalej nie wiem co zrobić
Z góry dziękuje za pomoc

Dodano po 21 godzinach 27 minutach 4 sekundach:
Z postacią postacią wykładniczą jest prościej:
\(\displaystyle{ z = re^{i\phi} \quad z^{*} = re^{-i\phi} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{z^{*}z^{k}} + \frac{1}{z(z^{*})^{k}} = \frac{1}{r^{k+1}e^{i(k-1)\phi}} + \frac{1}{r^{k+1}e^{-i(k-1)\phi}} = }\)
\(\displaystyle{ = r^{-(k+1)}e^{-i(k-1)\phi} + r^{-(k+1)}e^{i(k-1)\phi} = r^{-(k+1)} \left ( e^{i(k-1)\phi} + e^{-i(k-1)\phi} \right ) = }\)
\(\displaystyle{ = r^{-(k+1)}2 \cos ((k-1)\phi ) }\)
jest to liczba rzeczywista, więc teraz trzeba sprawdzić czy można tak przedstawić całą oś na płaszczyźnie Gaussa
\(\displaystyle{ a \in \RR }\)
\(\displaystyle{ a > 0 \quad r = \sqrt[k+1]{\frac{2}{a}} \quad \cos \phi = 1 \quad \rightarrow \quad \phi = 0 + 2k\pi \quad f(r,\phi ) = a}\)
\(\displaystyle{ a < 0 \quad r = \sqrt[k+1]{\frac{-2}{a}} \quad \cos \phi = -1 \quad \rightarrow \quad \phi = \pi + 2k\pi \quad f(r,\phi ) = a}\)
\(\displaystyle{ a = 0 \quad \cos \phi = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{\pi}{2} + k\pi \quad f(r,\phi ) = a}\)
można przedstawić zbiór rzeczywisty, więc odpowiedzią będzie oś Re(z)

Dodano po 7 minutach 38 sekundach:
Isdre pisze: 7 lis 2022, o 12:13 \(\displaystyle{ zz^{*} = r^2(\cos (\phi + \phi)+ i \sin (\phi - \phi)) = r^{2}\cos 2\phi}\)
tu jest błąd ponieważ
\(\displaystyle{ z * z^{*} = r(\cos (\phi) + i \sin (\phi)) * r(\cos (\phi) - i \sin (\phi)) = r^{2}(\cos^{2} (\phi) - i^{2} \sin^{2} (\phi)) = r^{2}}\)
\(\displaystyle{ z + z^{*} = r(\cos (\phi) + i \sin (\phi)) + r(\cos (\phi) - i \sin (\phi)) = r\cos 2\phi}\)
wtedy wszystko sprowadza się do tej samej postaci jak za pomocą wykładniczej
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór

Post autor: Janusz Tracz »

Nie jestem pewien czy dobrze przepisałeś treść zadania. Aktualnie ten zbiór nie ma zbyt wiele sensu. Wygląda to tak jakbyś chciał narysować \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\NN}^{}f_k[\CC] }\), gdzie \(\displaystyle{ f_k(z)= \frac{1}{z^{*}z^{k}} + \frac{1}{z(z^{*})^{k}}}\) tyle tylko, że \(\displaystyle{ f_k}\) nawet nie jest określona na całym \(\displaystyle{ \CC}\). Może chodziło o \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\NN}^{}f_k[\CC \setminus \left\{ 0\right\} ] }\)? Jeśli tak to właściwie nie ma zbyt wiele do rysowania bo
\(\displaystyle{ f_2[\CC \setminus \left\{ 0\right\}] \subseteq \bigcup_{k\in\NN}^{}f_k[\CC \setminus \left\{ 0\right\} ] \subseteq \RR. }\)

Pierwsza inkluzja jest oczywista, druga wynika zaś z tego, że niezależnie od \(\displaystyle{ k\in\NN}\) oraz \(\displaystyle{ z\in \CC \setminus \left\{ 0\right\}}\) mamy \(\displaystyle{ f_k(z)\in\RR}\) (tego dowodzą Twoje obliczenia). Wystarczy teraz zauważyć, że \(\displaystyle{ f_2[\CC \setminus \left\{ 0\right\}]=\RR}\) wszak dla dowolnego \(\displaystyle{ q\in\RR}\) powinno istnieć \(\displaystyle{ z\in \CC \setminus \left\{ 0\right\}}\) takie, że \(\displaystyle{ f_2(z)=2\Re (z)/|z|^4=q}\). Faktycznie z ciągłości powinno się to dać to wyciągnąć bo, gdy \(\displaystyle{ \left| z\right| \rightarrow 0 }\) to \(\displaystyle{ f_2(z) \rightarrow \pm \infty }\) (znak \(\displaystyle{ \pm}\) zależy od \(\displaystyle{ \Re z}\)) więc liczby pomiędzy są osiągane. Ostatecznie \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\NN}^{}f_k[\CC \setminus \left\{ 0\right\} ] = \RR}\). I do narysowania pozostaje kreska.


PS problem jest też niezależny od tego, czy \(\displaystyle{ 0\in \NN}\) czy nie. Bo \(\displaystyle{ f_0[\CC \setminus \left\{ 0\right\}] =f_2[\CC \setminus \left\{ 0\right\}]. }\)
Isdre
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 28 gru 2021, o 17:34
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 10 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór

Post autor: Isdre »

Janusz Tracz pisze: 7 lis 2022, o 21:36 Nie jestem pewien czy dobrze przepisałeś treść zadania.
Załączniki
obraz_2022-11-09_101025958.png
obraz_2022-11-09_101025958.png (14.47 KiB) Przejrzano 928 razy
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zaznacz na płaszczyźnie Gaussa zbiór

Post autor: Janusz Tracz »

Albo jakimś magicznym cudem dopisałeś w pierwszym poście
\(\displaystyle{ \displaystyle{ \left\{ \frac{1}{z^{*}z^{k}} + \frac{1}{z(z^{*})^{k}} : z \in \CC, \red{z \not = 0}, k \in \NN \right\} }}\)
jak ja nie widziałem albo ja tego nie widziałem od samego początku. Uznajmy, że ja nie widziałem i to moja wina. Tak czy inaczej zadanie jest zrobione. No może z dokładnością do technicznych szczegółów odnośnie istnienia \(\displaystyle{ z}\) takiego, że \(\displaystyle{ f_2(z)=q}\).
ODPOWIEDZ