Matematyka.pl

Napisać wzór homografii, która przekształca okrąg \(\displaystyle{ \left| z\right| =1}\) na oś urojoną i w której punkty \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) przechodzą odpowiednio na punkty \(\displaystyle{ 1}\) oraz \(\displaystyle{ i}\).

Rysunek:

Funkcja homograficzna:

\(\displaystyle{ h: \overline{C} \rightarrow \overline{C} }\)

\(\displaystyle{ h(z) = \frac{az +b}{cz +d}, \ \ a\cdot d - b\cdot c \neq 0 }\)

Biorąc pod uwagę fakt, że funkcja homograficzna jest bijekcją - znajdujemy funkcję odwrotną funkcji \(\displaystyle{ h }\), rozwiązując równanie

\(\displaystyle{ w = \frac{az +b}{cz +d} }\) względem zmiennej \(\displaystyle{ z }\)

\(\displaystyle{ z = \frac{b -wd}{wc -a} \ \ (1) }\)

Podstawiamy w \(\displaystyle{ (1) }\) nowe zmienne \(\displaystyle{ w = \xi + i\eta }\)

Wydzielamy część rzeczywistą i urojoną

\(\displaystyle{ z = \Re(w) + \Im(w) }\)

Wartości współczynników \(\displaystyle{ a,b, c,d }\) znajdujemy z układu równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} h(0) =1 \\ h(1) = i \\ |z| = 1 \\ \Re (z) = 0 \end{cases} }\)

Niech \(o_1\) oznacza okrąg jednostkowy, \(l_1\) - oś rzeczywistą, \(f\) - naszą szukaną homografię.

Zastanówmy się, jak wygląda obraz prostej \(l_1\). Jest to okrąg lub prosta i zawiera punkty \(f(0)=1\) i \(f(1)=i\). Ponadto z konforemności \(f\) wiemy, że figura ta jest prostopadła do osi urojonej \(f(o_1)\) w punkcie \(i\). Zatem jest to okrąg jednostkowy.

Zauważmy teraz, że oś urojona (nazwijmy ją \(l_2\)) jest prostopadła zarówno do \(o_1\) w punktach \(\pm i\), jak i do \(l_1\) w punkcie \(0\). Zatem obraz \(f(l_2)\) jest prostopadły do okręgu \(f(l_1)\) w punkcie \(f(0)=1\), czyli styczna do \(f(l_2)\) w punkcie \(1\) jest pozioma. Ponieważ \(f(l_2)\) ma też przeciąć prostą \(f(o_1)\) pod kątem prostym, to \(f(l_2)\) nie może być okręgiem, tylko prostą poziomą.

Punkty przecięcia \(o_1\) i \(l_2\) przejdą na punkty przecięcia \(f(o_1)\) z \(f(l_2)\), zatem potencjalnie mamy dwie możliwości: \(f(i)=0, f(-i)=\infty\) albo \(f(-i)=0, f(i)=\infty\).

Skoro \(f(\mp i)=\infty\), to nasza homografia jest postaci \(\displaystyle{ f(z)=\frac{az+b}{z\pm i}}\).

Punkty przecięcia \(l_1\) i \(l_2\) przechodzą na punkty przecięcia \(f(l_1)\) i \(f(l_2)\), zatem \(f(\infty)=-1\), co daje nam \(\displaystyle{ f(z)=\frac{-z+b}{z\pm i}}\). Dalej podstawiając \(f(0) = 1\) dostajemy już tylko dwie homografie \(\displaystyle{ f(z)=\frac{-z\pm i}{z\pm i}}\). Która z nich spełnia wszystkie warunki zadania?

Jest może jakiś prostszy sposób rozwiązania?

Być może, ale jeszcze nikt go tu nie napisał. Standardowe metody to albo układ równań, albo korzystanie z własności homografii (że przeprowadza okręgi uogólnione na okręgi uogólnione, oraz że zachowuje kąty między krzywymi).