Matematyka.pl

Witam,
Czy mógłbym prosić o wytłumaczenie krok po kroku jak rozwiązać takie zadanie:


Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z, dla których wyrażenie
\(\displaystyle{ \left( 1 + z \right) \left( 1 - z \right) ^{-1} }\)
jest liczbą czysto urojoną.


Z góry bardzo dziękuję za pomoc.

Pomijając zabawną urojoną czystość (ciekawe jaka to nieczysta liczba urojona (czyżby 666i?)), to przyjmujesz, że
\(\displaystyle{ \frac{z+1}{1-z}= ia \ \ \ }\) gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR \setminus \left\{ 0\right\} \ \ \wedge \ \ z \neq 1}\)
i zwyczajnie wyliczasz z-et.
\(\displaystyle{ z= \frac{a^2-1}{a^2+1} +i \frac{2a}{a^2+1} }\)

A geometrycznie: liczba \(\displaystyle{ \frac{u}{v}}\) jest urojona dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są prostopadłe jako wektory na płaszczyźnie. Szukany jest więc zbiór takich \(\displaystyle{ z}\), dla których \(\displaystyle{ z-1}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ z - (-1)}\), czyli takich, że \(\displaystyle{ \angle azb}\) jest kątem prostym, gdzie \(\displaystyle{ a = 1}\), \(\displaystyle{ b = -1}\). Takie punkty tworzą okrąg, którego średnicą jest \(\displaystyle{ \vec{ab}}\), czyli okrąg o równaniu \(\displaystyle{ \{ z \in \CC : |z| = 1 \}}\) (z wyłączeniem \(\displaystyle{ z=1}\) z uwagi na dziedzinę).