Matematyka.pl

Dzień dobry,
Mam problem z jednym z zadań które pojawiło się na zajęciach z algebry linowej. Zadanie brzmi następująco: Wyznacz miejsce (zbiór) liczb zespolonych spełniających relację: \(\displaystyle{ \Im(iz^{4}) < 0}\). Wynik naszkicuj na płaszczyźnie zespolonej opisując wyznaczone brzegi wskazanych obszarów.
Samemu doszedłem do momentu w którym wyszła mi nierówność: \(\displaystyle{ x^{4} + y^{4} -6x^{2}y^{2} < 0}\) i nie wiem jak przedstawić to na płaszczyźnie zespolonej, bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tego zadania.

\(\displaystyle{ x^{4} + y^{4} -6x^{2}y^{2}=(x^2-y^2)^2-4x^2y^2=(x^2-y^2-2xy)(x^2-y^2+2xy)}\)

JK

Albo tak:
Mnożenie przez `i` oznacza obrót o kąt prosty w lewo. Warunek x zadania oznacza, że liczba `iz^4` leży w dolnej polplaszczyźnie. A to znaczy że `z^4` leży w lewej polplaszczyźnie. Aby to znaczy, że argument `z^4` leży między... a .....
I teraz wzór de Moivre'a

Korzystamy z postaci wykładniczej jednostki urojonej i liczby zespolonej \(\displaystyle{ z^4 .}\)

\(\displaystyle{ \Im(i\cdot z^4) = \Im \left(e^{i\cdot \frac{\pi}{2}} \cdot r^4 e^{i\cdot 4\phi +2k\pi\cdot i }\right) = \Im \left( r^4 e^{i \left(4\phi + \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right)}\right)< 0, \ \ k\in \ZZ. }\)

Przechodzimy do postaci trygonometrycznej części urojonej:

\(\displaystyle{ r^4 \sin\left(4\phi +\frac{\pi}{2} + 2 k\pi \right ) <0. }\)

Rozwiązujemy nierówność:

\(\displaystyle{ \sin \left(4\phi +\frac{\pi}{2} + 2 k\pi \right) <0. }\)

Zaznaczamy na płaszczyźnie Gaussa kąty spełniające nierówność.

a4karo pisze: ↑10 kwie 2023, o 15:36 Albo tak:
Mnożenie przez `i` oznacza obrót o kąt prosty w lewo .....

Brawo a4karo...inteligentnie versus łopatologicznie...

Zabawne jest to, że nierówność z pierwszego posta: `x^{4} + y^{4} -6x^{2}y^{2} < 0` można rozwiązać bez żadnej wiedzy z zakresu liczb zespolonych.
Pokażę najpierw, że rozwiązaniem równania
(*) `x^{4} + y^{4} -6x^{2}y^{2} = 0`
jest zbiór złożony z czterech prostych przechodzących przez początek układu.

Niech `y=\lambda x`. Wtedy równanie (*) przybiera postać `x^4(\lambda^4-6\lambda^2+1)=0`.
Równanie `f(\lambda)=\lambda^4-6\lambda^2+1` ma dwa pierwiastki dodatnie, bo ` f(0)>0, f(1)<0, f(\infty)>0` i dwa ujemne ze względu na parzystość.
Stąd wniosek, że równanie (*) można zapisać w postaci
(**) `x^{4} + y^{4} -6x^{2}y^{2} = (y-\lamda_1x)(y-\lambda_2 x)(y-\lambda_3 x)(y-\lambda_4x)=0`
Te cztery proste dzielą płaszczyznę na osiem obszarów, w których znaki wyrażenia `x^{4} + y^{4} -6x^{2}y^{2} ` zmieniają się na przemian, bo przy przekroczeniu prostej w dowolnym punkcie oprócz początku układu dokładnie jeden czynnik w (**) zmienia znak.

Zastanówmy się teraz jak wyglądają te proste.
Równanie (*) nie ulega zmianie, gdy zamienimy `(x,y)` na `(\pm x,\pm y)` przy dowolnej kombinacji znaków. To oznacza, że zbiór rozwiązań równania jest symetryczny względem obu osi układu współrzędnych. Również zamiana `(x,y)->(y,x)` nic nie zmienia, a to znaczy, że zbiór rozwiązań jest symetryczny względem obu głównych przekątnych.

Oczywistym kandydatem na rozwiązanie (przypominam: cztery proste) jest zbiór złożony z osi i przekątnych, ale łatwo się przekonać, że to nie jest rozwiązanie - `(1,0)` nie spełnia równania (*).
Drugi (i ostatni) możliwy układ to proste zawierające dwusieczne kątów utworzonych przez osie i dwusieczne. Kąty, jakie te proste tworzą z osią `OX` to `\pm\pi/8` i `\pm3\pi/8`.

Stąd wniosek, że rozwiązaniem nierówności `x^{4} + y^{4} -6x^{2}y^{2} < 0` jest zbiór prostych `y=\tan ax`, gdzie `a\in (\pi/8, 3pi/8)\cup(-3\pi/8,-\pi/8)`

A przy okazji znaleźliśmy bez liczenia pierwiastki wielomianu `\lambda^4-6\lambda^2+1`