Witam
Proszę o pomoc z równaniem(z największą dokładnością)
\(\displaystyle{ (Z+i-1 )^{6}+8=0}\)
Dziękuję
rozwiąż równanie stosując liczby zespolone
-
Dieselboy
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
rozwiąż równanie stosując liczby zespolone
Ostatnio zmieniony 10 lut 2008, o 18:44 przez Dieselboy, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
rozwiąż równanie stosując liczby zespolone
\(\displaystyle{ (z+i-1 )^{6}+8=0}\)
wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ \left( (z+i-1 )^2+2 \right)\left( (z+i-1)^4-2(z+i-1)^2+4 \right)=0}\)
\(\displaystyle{ (z+i-1)^2+2=0 (z+i-1)^4-2(z+i-1)^2+4=0}\)
pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ (z+i-1)^2+2=0 \\
z^2+zi-z+zi-1-i-z-i+1+2=0 \\
z^2+(2i-2)z-(2i-2)=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(2i-2)^2+4(2i-2) \\
\Delta=-4-8i+4+8i-8 \\
\Delta=-8 \\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{2}i}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{-2i+2-2\sqrt{2}i}{2} z=\frac{-2i+2+2\sqrt{2}i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=(-1-\sqrt{2})i+2 z=(-1+\sqrt{2})i+2}\)
drugie równanie:
\(\displaystyle{ (z+i-1)^4-2(z+i-1)^2+4=0 \\
t=(z+i-1)^2 \\
t^2-2t+4=0 \\
\Delta_t=4-16 \\
\Delta_t=-12 \\
\Delta_t=2\sqrt{3}i \\
t=\frac{2-2\sqrt{3}i}{2} t=\frac{2+2\sqrt{3}i}{2} \\
t=1-\sqrt{3}i t=1+\sqrt{3}i \\
(z+i-1)^2=1-\sqrt{3}i (z+i-1)^2=1+\sqrt{3}i \\
z^2+(2i-2)z-2i=1-\sqrt{3}i z^2+(2i-2)z-2i=1+\sqrt{3}i \\
z^2+(2i-2)z-2i+\sqrt{3}i-1=0 z^2+(2i-2)z-2i-\sqrt{3}i-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(2i-2)^2-4(-2i+\sqrt{3}i-1) \qquad\qquad\qquad \Delta=(2i-2)^2-4(-2i-\sqrt{3}i-1)\\
\Delta=-4-8i+4+8i-4\sqrt{3}i+4 \qquad\qquad\qquad \Delta=-4-8i+4+8i+4\sqrt{3}i+4\\
\Delta=-4\sqrt{3}i+4 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad \Delta=4\sqrt{3}i+4 \\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{-\sqrt{3}i+1} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad \sqrt{\Delta}=2\sqrt{\sqrt{3}i+1}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{-2i+2-2\sqrt{-\sqrt{3}i+1}}{2} z=\frac{-2i+2+2\sqrt{-\sqrt{3}i+1}}{2} \\ \qquad z=\frac{-2i+2-2\sqrt{\sqrt{3}i+1}}{2} z=\frac{-2i+2+2\sqrt{\sqrt{3}i+1}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=-i+1-\sqrt{-\sqrt{3}i+1} z=-i+1+\sqrt{-\sqrt{3}i+1} \\ \qquad z=-i+1-\sqrt{\sqrt{3}i+1} z=-i+1+\sqrt{\sqrt{3}i+1}}\)
wszystkie rozwiązania:
\(\displaystyle{ z=(-1-\sqrt{2})i+2 z=(-1+\sqrt{2})i+2 z=-i+1-\sqrt{-\sqrt{3}i+1} z=-i+1+\sqrt{-\sqrt{3}i+1} \qquad z=-i+1-\sqrt{\sqrt{3}i+1} z=-i+1+\sqrt{\sqrt{3}i+1}}\)
wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)}\)
\(\displaystyle{ \left( (z+i-1 )^2+2 \right)\left( (z+i-1)^4-2(z+i-1)^2+4 \right)=0}\)
\(\displaystyle{ (z+i-1)^2+2=0 (z+i-1)^4-2(z+i-1)^2+4=0}\)
pierwsze równanie:
\(\displaystyle{ (z+i-1)^2+2=0 \\
z^2+zi-z+zi-1-i-z-i+1+2=0 \\
z^2+(2i-2)z-(2i-2)=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(2i-2)^2+4(2i-2) \\
\Delta=-4-8i+4+8i-8 \\
\Delta=-8 \\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{2}i}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{-2i+2-2\sqrt{2}i}{2} z=\frac{-2i+2+2\sqrt{2}i}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=(-1-\sqrt{2})i+2 z=(-1+\sqrt{2})i+2}\)
drugie równanie:
\(\displaystyle{ (z+i-1)^4-2(z+i-1)^2+4=0 \\
t=(z+i-1)^2 \\
t^2-2t+4=0 \\
\Delta_t=4-16 \\
\Delta_t=-12 \\
\Delta_t=2\sqrt{3}i \\
t=\frac{2-2\sqrt{3}i}{2} t=\frac{2+2\sqrt{3}i}{2} \\
t=1-\sqrt{3}i t=1+\sqrt{3}i \\
(z+i-1)^2=1-\sqrt{3}i (z+i-1)^2=1+\sqrt{3}i \\
z^2+(2i-2)z-2i=1-\sqrt{3}i z^2+(2i-2)z-2i=1+\sqrt{3}i \\
z^2+(2i-2)z-2i+\sqrt{3}i-1=0 z^2+(2i-2)z-2i-\sqrt{3}i-1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=(2i-2)^2-4(-2i+\sqrt{3}i-1) \qquad\qquad\qquad \Delta=(2i-2)^2-4(-2i-\sqrt{3}i-1)\\
\Delta=-4-8i+4+8i-4\sqrt{3}i+4 \qquad\qquad\qquad \Delta=-4-8i+4+8i+4\sqrt{3}i+4\\
\Delta=-4\sqrt{3}i+4 \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad \Delta=4\sqrt{3}i+4 \\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{-\sqrt{3}i+1} \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad \sqrt{\Delta}=2\sqrt{\sqrt{3}i+1}}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{-2i+2-2\sqrt{-\sqrt{3}i+1}}{2} z=\frac{-2i+2+2\sqrt{-\sqrt{3}i+1}}{2} \\ \qquad z=\frac{-2i+2-2\sqrt{\sqrt{3}i+1}}{2} z=\frac{-2i+2+2\sqrt{\sqrt{3}i+1}}{2}}\)
\(\displaystyle{ z=-i+1-\sqrt{-\sqrt{3}i+1} z=-i+1+\sqrt{-\sqrt{3}i+1} \\ \qquad z=-i+1-\sqrt{\sqrt{3}i+1} z=-i+1+\sqrt{\sqrt{3}i+1}}\)
wszystkie rozwiązania:
\(\displaystyle{ z=(-1-\sqrt{2})i+2 z=(-1+\sqrt{2})i+2 z=-i+1-\sqrt{-\sqrt{3}i+1} z=-i+1+\sqrt{-\sqrt{3}i+1} \qquad z=-i+1-\sqrt{\sqrt{3}i+1} z=-i+1+\sqrt{\sqrt{3}i+1}}\)