Mam problem z równaniem.
\(\displaystyle{ z^{6}\,=\,(3 - i)^{12}}\)
Byłbym wdzięczny za pomoc.
Równanie
-
Malkolm
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 6 lis 2005, o 20:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 12 razy
Równanie
Zauważmy, że:
Z własności działań na potęgach wyjściowe równanie jest równoważne \(\displaystyle{ z^{6}=[(3-i)^{2}]^{6}}\)
\(\displaystyle{ (3-i)^{2}=(3-i)(3-i)=9-i3-i3+i^{2}=8-i6}\), czyli
\(\displaystyle{ z^{6}=(8-i6)^{6}}\)
Ponieważ liczba zespolona \(\displaystyle{ 8-i6 0}\), więc ponownie korzystając z własności działań na potęgach otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ (\frac{z}{8-i6})^{6}=1}\).
Niech \(\displaystyle{ (\frac{z}{8-i6})=w}\). Wówczas \(\displaystyle{ w^{6}=1}\).
Korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ w_{0}=1}\)
\(\displaystyle{ w_{1}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=-1}\)
\(\displaystyle{ w_{4}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{5}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Wracając z podstawieniem mamy:
1)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=1}\), czyli \(\displaystyle{ z=8-i6}\)
2)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ z=(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(8-i6)=(4-i3+i4\sqrt{3}+3\sqrt{3})=4+3\sqrt{3}+i(4\sqrt{3}-3)}\)
3)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ z=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(8-6i)=(-4+i3+i4\sqrt{3}+3\sqrt{3})=-4+3\sqrt{3}+i(4\sqrt{3}+3)}\)
4)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=-1}\), czyli \(\displaystyle{ z=-8+i6}\)
5)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ z=(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})(8-i6)=(-4+i3-i4\sqrt{3}-3sqrt{3})=-4-3\sqrt{3}+i(-4\sqrt{3}+3)}\)
6)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ z=(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})(8-i6)=(4-i3-i4\sqrt{3}-3\sqrt{3})=4-3\sqrt{3}+i(-4\sqrt{3}-3)}\)
Reasumując:
Rozwiązaniami danego równania są liczby zespolone:
\(\displaystyle{ z_{1}=8-i6}\) lub \(\displaystyle{ z_{2}=4+3\sqrt{3}+i(4\sqrt{3}-3)}\) lub \(\displaystyle{ z_{3}=-4+3\sqrt{3}+i(4\sqrt{3}+3)}\) lub \(\displaystyle{ z_{4}=-8+i6}\) lub \(\displaystyle{ z_{5}=-4-3\sqrt{3}+i(-4\sqrt{3}+3)}\) lub \(\displaystyle{ z_{6}=4-3\sqrt{3}+i(-4\sqrt{3}-3)}\)
Z własności działań na potęgach wyjściowe równanie jest równoważne \(\displaystyle{ z^{6}=[(3-i)^{2}]^{6}}\)
\(\displaystyle{ (3-i)^{2}=(3-i)(3-i)=9-i3-i3+i^{2}=8-i6}\), czyli
\(\displaystyle{ z^{6}=(8-i6)^{6}}\)
Ponieważ liczba zespolona \(\displaystyle{ 8-i6 0}\), więc ponownie korzystając z własności działań na potęgach otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ (\frac{z}{8-i6})^{6}=1}\).
Niech \(\displaystyle{ (\frac{z}{8-i6})=w}\). Wówczas \(\displaystyle{ w^{6}=1}\).
Korzystając ze wzoru na pierwiastki z liczby zespolonej otrzymujemy:
\(\displaystyle{ w_{0}=1}\)
\(\displaystyle{ w_{1}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=-1}\)
\(\displaystyle{ w_{4}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{5}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Wracając z podstawieniem mamy:
1)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=1}\), czyli \(\displaystyle{ z=8-i6}\)
2)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ z=(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(8-i6)=(4-i3+i4\sqrt{3}+3\sqrt{3})=4+3\sqrt{3}+i(4\sqrt{3}-3)}\)
3)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ z=(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(8-6i)=(-4+i3+i4\sqrt{3}+3\sqrt{3})=-4+3\sqrt{3}+i(4\sqrt{3}+3)}\)
4)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=-1}\), czyli \(\displaystyle{ z=-8+i6}\)
5)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ z=(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})(8-i6)=(-4+i3-i4\sqrt{3}-3sqrt{3})=-4-3\sqrt{3}+i(-4\sqrt{3}+3)}\)
6)\(\displaystyle{ \frac{z}{8-i6}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ z=(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})(8-i6)=(4-i3-i4\sqrt{3}-3\sqrt{3})=4-3\sqrt{3}+i(-4\sqrt{3}-3)}\)
Reasumując:
Rozwiązaniami danego równania są liczby zespolone:
\(\displaystyle{ z_{1}=8-i6}\) lub \(\displaystyle{ z_{2}=4+3\sqrt{3}+i(4\sqrt{3}-3)}\) lub \(\displaystyle{ z_{3}=-4+3\sqrt{3}+i(4\sqrt{3}+3)}\) lub \(\displaystyle{ z_{4}=-8+i6}\) lub \(\displaystyle{ z_{5}=-4-3\sqrt{3}+i(-4\sqrt{3}+3)}\) lub \(\displaystyle{ z_{6}=4-3\sqrt{3}+i(-4\sqrt{3}-3)}\)