Ogólnie to dopiero ucze się liczb zespolonych i dostałem kilka zadań do zrobienia w domu. Te spraiwają mi problem:
1) \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}\leq\arg(z^{3})\leq\pi}\)
2) \(\displaystyle{ (z-i)^4=(z+i)^4}\)
proszę o proste wytłumaczenie.
z góry dzięki
równanie i nierówność z liczbami zespolonymi
- neworder
- Użytkownik
- Posty: 364
- Rejestracja: 11 lis 2004, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MISMaP UW
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 8 razy
równanie i nierówność z liczbami zespolonymi
1. Jeśli z=cosx+isinx (postać trygonometryczna liczby zespolonej), to \(\displaystyle{ z^{3} = (cosx+isinx)^{3} = cos3x+isin3x}\) (ze wzoru De Moivre'a). Ma być \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\), więc za \(\displaystyle{ arg(z^{3})}\) podstawiasz 3x i już.
2. Niech znów z=cosx+isinx, a więc z-i=cosx+i(sinx-1), użyj wzoru na sumę i różnicę sinusów (sinx+siny, sinx-siny, traktując 1 jako sin\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)), skorzystaj ze wzoru Moivre'a i już.
2. Niech znów z=cosx+isinx, a więc z-i=cosx+i(sinx-1), użyj wzoru na sumę i różnicę sinusów (sinx+siny, sinx-siny, traktując 1 jako sin\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)), skorzystaj ze wzoru Moivre'a i już.
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
równanie i nierówność z liczbami zespolonymi
W drugim tak na oko wydaje się, że prościej byłoby przenieść to na jedną stronę i skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia, i potraktować jak równanie wielomianowe.
Taka drobna sugestia
Taka drobna sugestia
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
równanie i nierówność z liczbami zespolonymi
Jeśli o algebrę to wręcz nienawidzę w niej takiej "interdyscyplinarności", jak używania trygonometrii (tak jak tutaj) czy analizy (pochodne).
-
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
równanie i nierówność z liczbami zespolonymi
To może w geometrii . Ja tam wyznaję filozofię, że jak algebra, to nic poza tym. Wiem, że w analizie korzysta się z algebry i to dużo, podobnie jak i w trygonometrii. Ale twierdzę, że odwrotna relacja, to tylko nasza ułomność i że algebra "da sobie radę sama".