Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre%E2%80%99a
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_de_Moivre%E2%80%99a
Skąd ten wniosek?MatPiotr pisze:Mianowicie, jak mam liczbę \(\displaystyle{ z = \sqrt{-2}}\), to inaczej mam liczbę \(\displaystyle{ z = \sqrt{2}i}\). Kiedy podniosę obustronnie do kwadratu otrzymam, że \(\displaystyle{ {z}^{2} = 2{i}^{2} \rightarrow {z}^{2}=-2}\). Czyli \(\displaystyle{ arg z = \pi}\).
Pierwiastek z liczby zespolonej nie jest wyznaczony jednoznacznie. Mówimy raczej o zbiorze pierwiastków z danej liczby zespolonej - ma on tyle elementów, ile wynosi stopień pierwiastka.MatPiotr pisze:czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć o co chodzi z pierwiastkami liczb zespolonych czym one są? Bo skoro mam teraz \(\displaystyle{ z = 4}\) To równie dobrze mogę napisać, że mam \(\displaystyle{ \sqrt{z} = 2}\). Czyli Podstawiając do wzoru mam: \(\displaystyle{ z = \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ z = - \sqrt{2}}\). Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mi wytłumaczył co tu się dzieje.
Właśnie to jeszcze rozumiem, jednak dlaczego nie ma on takich pierwiastków, które spełniają równość? Czyli jak w poprzednim poście napisałem \(\displaystyle{ z=4}\). To dla \(\displaystyle{ \sqrt{z} = 2}\) nie wychodzi \(\displaystyle{ 4}\).Jan Kraszewski pisze:Pierwiastek z liczby zespolonej nie jest wyznaczony jednoznacznie. Mówimy raczej o zbiorze pierwiastków z danej liczby zespolonej - ma on tyle elementów, ile wynosi stopień pierwiastka.
JK
Mógłbyś to jakoś wyjaśnić? Rozumiem, że \(\displaystyle{ {(-i)}^{2}=-1}\), jednak jak ma mi to pomóc ?Cytryn pisze:Zapominasz o tym, że \(\displaystyle{ (-i)^2 = -1}\).
Chyba rozumiem o co ci chodzi. Jednak jak mam liczbę ujemną pod pierwiastkiem to chyba powinienem móc ją zapisać tak jak to robiłem w poprzednich postach. Jeżeli nie mogę, to jak inaczej zapisać pierwiastek z liczby ujemnej i jak wykonywać na nim operacje oraz jak mam go traktować, jako część rzeczywistą, czy urojoną? Chociaż zgodnie z tym co jest tutaj: ... by_urojone to liczba \(\displaystyle{ \sqrt{-2} = \sqrt{2}i}\).NogaWeza pisze:\(\displaystyle{ \sqrt{-2} \neq \sqrt{2}i}\)
Zapominasz chyba o tym, że wcale nie zachodzi równość \(\displaystyle{ \sqrt{-1} = i}\). Widywałem nawet podręczniki, w których tak definiowana jest jednostka urojona
Powinno być: \(\displaystyle{ i \in \sqrt{-1}}\), bowiem \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) nie jest liczbą, a raczej pewnym zbiorem. Po prostu przyjęło się używać oznaczenia \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}}\) zarówno na pierwiastek arytmetyczny, jak i na pierwiastek algebraiczny, ale trzeba umieć te pojęcia rozróżnić.
Czyli powinny być dwa rozwiązania, bo rozwiązuje \(\displaystyle{ \sqrt{z}=2}\). Problem w tym, że dla \(\displaystyle{ k=1}\), wyjdzie mi \(\displaystyle{ \sqrt{z}=-2}\).... Wówczas dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\), istnieje \(\displaystyle{ n}\) różnych pierwiastków stopnia \(\displaystyle{ n}\) z liczby zespolonej \(\displaystyle{ z}\).
Długo się nad tym zastanawiałem i (chyba) mam już odpowiedź. Czyli: za każdym razem, gdy szukamy pierwiastków dla liczby spoza przedziału półprostej nieujemnej dla prostej rzeczywistej, możemy mówić tylko o pierwiastku algebraicznym i nie można podać pierwiastka arytmetycznego?NogaWeza pisze: ↑23 paź 2016, o 13:04 \(\displaystyle{ \sqrt{-2} \neq \sqrt{2}i}\)
Zapominasz chyba o tym, że wcale nie zachodzi równość \(\displaystyle{ \sqrt{-1} = i}\). Widywałem nawet podręczniki, w których tak definiowana jest jednostka urojona
Powinno być: \(\displaystyle{ i \in \sqrt{-1}}\), bowiem \(\displaystyle{ \sqrt{-1}}\) nie jest liczbą, a raczej pewnym zbiorem. Po prostu przyjęło się używać oznaczenia \(\displaystyle{ \sqrt{\cdot}}\) zarówno na pierwiastek arytmetyczny, jak i na pierwiastek algebraiczny, ale trzeba umieć te pojęcia rozróżnić.
Trochę mieszasz byty. Pojęcie pierwiastka arytmetycznego dotyczy liczb rzeczywistych nieujemnych, a nie liczb zespolonych.fosil pisze: ↑21 sie 2023, o 19:37 Długo się nad tym zastanawiałem i (chyba) mam już odpowiedź. Czyli: za każdym razem, gdy szukamy pierwiastków dla liczby spoza przedziału półprostej nieujemnej dla prostej rzeczywistej, możemy mówić tylko o pierwiastku algebraicznym i nie można podać pierwiastka arytmetycznego?