Matematyka.pl

Trzeba rozwiązać równanie \(\displaystyle{ (\overline{z})^6=4|z^2|}\)

I rozwiązanie w książce wygląda tak:

\(\displaystyle{ (\overline{z})^6=4|z^2| \iff r^6 e ^{-6i \phi}=4r^2 \iff r^6 e ^{-6i \phi}=4r^2 e^{i \cdot 0} \iff \begin{cases}r^6=4r^2 \\ -6 \phi = 0+2k \pi, k \in \mathbb{Z} \end{cases} \iff \begin{cases} r=0 \ \mbox{lub} \ r=\sqrt{2} \\ \phi=\frac{l \pi}{3},l=0,1,2,3,4,5\end{cases}}\)

Rozumiem, że jest przyjęte, że \(\displaystyle{ \phi}\) to jest argument główny \(\displaystyle{ z}\), ale czy to rozwiązanie ma sens? Bo na przykład
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=0 \ \mbox{lub} \ r=\sqrt{2} \\ \phi=\frac{l \pi}{3},l=0,1,2,3,4,5\end{cases}}\)
mogę zapisać równoważnie jako
\(\displaystyle{ \begin{cases} r=0 \\ \phi=\frac{l \pi}{3},l=0,1,2,3,4,5\end{cases} \ \mbox{lub} \ \begin{cases} r=\sqrt{2} \\ \phi=\frac{l \pi}{3},l=0,1,2,3,4,5 \end{cases}}\)
ale wtedy będzie to oznaczać, że liczby o module \(\displaystyle{ 0}\) mają argumenty \(\displaystyle{ 0,\frac{\pi}{3},\frac{2 \pi}{3},\pi,\frac{4 \pi}{3},\frac{5 \pi }{3}}\), czyli że argumentami liczby \(\displaystyle{ 0}\) są te liczby.

I w związku z tym - czy liczba \(\displaystyle{ 0}\) ma argumenty, a jeśli tak, to ile one wynoszą?

Liczba 0 jest specjalna i nie definiuje się dla niej argumentu. Przy rozwiązywaniu tego równania, można się skupić na rozwiązaniach niezerowych.
W rozwiązaniu zapewne chodzi o to, że \(\displaystyle{ (r=0) \vee (r=\sqrt{2} \wedge \mbox{ warunki na argument})}\)