Prosty wzór
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13111
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3380 razy
- Pomógł: 801 razy
Prosty wzór
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} (x+ e_k)^n = n(x^n+1)}\) gdzie \(\displaystyle{ e_k = \cos( \frac{2k \pi}{n} )+ i \sin( \frac{2k \pi}{n} )}\).
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5617
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 146 razy
- Pomógł: 576 razy
Re: Prosty wzór
Można to rozpisać tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} \left( x+e_{k}\right)^n =}\)
\(\displaystyle{ x^n+x^n+...+x^n=nx^n}\)
\(\displaystyle{ {n \choose 1} x^{n-1}\left( e_{0}+...+e_{n-1}\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ {n \choose 2} x^{n-2}\left( e_{0}^2+...+e_{n-1}^2\right)=0 }\)
--
\(\displaystyle{ {n \choose n-1} x\left( e_{0}^{n-1}+...+e_{n-1}^{n-1}\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ e_{0}^n+...+e_{n-1}^n=n }\)
co daje tezę...
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-1} \left( x+e_{k}\right)^n =}\)
\(\displaystyle{ x^n+x^n+...+x^n=nx^n}\)
\(\displaystyle{ {n \choose 1} x^{n-1}\left( e_{0}+...+e_{n-1}\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ {n \choose 2} x^{n-2}\left( e_{0}^2+...+e_{n-1}^2\right)=0 }\)
--
\(\displaystyle{ {n \choose n-1} x\left( e_{0}^{n-1}+...+e_{n-1}^{n-1}\right)=0 }\)
\(\displaystyle{ e_{0}^n+...+e_{n-1}^n=n }\)
co daje tezę...
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22450
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 3825 razy
Re: Prosty wzór
A jak się nie zna wzorów, na które powołuje się arek1357, albo gdy chce się je udowodnić, to zadanie można rozwiązać tak:
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} (x+ e_k)^n}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ f(e_1x)=\sum_{k=0}^{n-1} (e_1x+ e_k)^n=\sum_{k=0}^{n-1} e_1^n(x+ e_{k-1})^n=f(x)}\)
Stąd \(\displaystyle{ f^{(k)}(e_1x)=e_1^kf^{(k)}(e_1x)=f^{(k)}(x)}\), co znaczy, że \(\displaystyle{ f^{(k)}(0)=0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,n-1}\). Szukany wielomian jest zatem postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax^n+b}\) i prosty rachunek pokazuje, że \(\displaystyle{ a=b=n}\).
Niech \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=0}^{n-1} (x+ e_k)^n}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ f(e_1x)=\sum_{k=0}^{n-1} (e_1x+ e_k)^n=\sum_{k=0}^{n-1} e_1^n(x+ e_{k-1})^n=f(x)}\)
Stąd \(\displaystyle{ f^{(k)}(e_1x)=e_1^kf^{(k)}(e_1x)=f^{(k)}(x)}\), co znaczy, że \(\displaystyle{ f^{(k)}(0)=0}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,...,n-1}\). Szukany wielomian jest zatem postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax^n+b}\) i prosty rachunek pokazuje, że \(\displaystyle{ a=b=n}\).