Witam ponownie
Mam do rozwiązania 2 zadanka z liczb zespolonych, za które, powiem szczerze, kompletnie nie wiem jak się zabrać. Czy ktoś mógłby pomóc?
1. Oblicz:
\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}-i ) ^{12}}\)
2. Rozwiąż równanie:
\(\displaystyle{ z ^{2}-3=4i}\)
Bardzo proszę o kolejne kroki rozwiązania, tak żebym potem mogła analogicznie rozwiązać podobne przykłady, bo na chwilę obecną nie mogę tego ogarnąć
Potęgowanie liczb zespolonych + równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 18:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: St.W.
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 4 razy
Potęgowanie liczb zespolonych + równanie
Ostatnio zmieniony 11 mar 2011, o 22:09 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 1300
- Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 123 razy
Potęgowanie liczb zespolonych + równanie
Zad 1
Zamień na postać trygonometryczną, wtedy jest łatwiej podnosić liczby zespolone do dowolnej potęgi.
Zamień na postać trygonometryczną, wtedy jest łatwiej podnosić liczby zespolone do dowolnej potęgi.
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Potęgowanie liczb zespolonych + równanie
1. Sposób pierwszy:
\(\displaystyle{ (\sqrt3-i)^{12}=2^{12}(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6})^{12}=
2^{12}(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi))=2^{12}}\)
Sposób drugi: Zacisnąć zęby i policzyć. W końcu to tylko cztery mnożenia.
2. Sposób pierwszy:
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=3+4i}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2=3\qquad\text{oraz }\qquad 2ab=4}\)
Dodatkowo przykładamy wartość bezwzględną do drugiej równości:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=5}\)
Otrzymujemy natychmiast, że \(\displaystyle{ z=\pm(2+i)}\)
Sposób drugi: Zgadnąć, na przykład \(\displaystyle{ 3+4i=4+4i+i^2}\) i zwijamy do kwadratu.
\(\displaystyle{ (\sqrt3-i)^{12}=2^{12}(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6})^{12}=
2^{12}(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi))=2^{12}}\)
Sposób drugi: Zacisnąć zęby i policzyć. W końcu to tylko cztery mnożenia.
2. Sposób pierwszy:
\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=3+4i}\)
\(\displaystyle{ a^2-b^2=3\qquad\text{oraz }\qquad 2ab=4}\)
Dodatkowo przykładamy wartość bezwzględną do drugiej równości:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=5}\)
Otrzymujemy natychmiast, że \(\displaystyle{ z=\pm(2+i)}\)
Sposób drugi: Zgadnąć, na przykład \(\displaystyle{ 3+4i=4+4i+i^2}\) i zwijamy do kwadratu.
-
- Użytkownik
- Posty: 145
- Rejestracja: 19 lut 2009, o 18:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: St.W.
- Podziękował: 21 razy
- Pomógł: 4 razy
Potęgowanie liczb zespolonych + równanie
Dzięki serdeczne, wszystko jest dla mnie jasne i bardzo czytelne poza wskazaną powyżej linijką. Mógłbyś rozjaśnić?norwimaj pisze: Dodatkowo przykładamy wartość bezwzględną do drugiej równości:
\(\displaystyle{ a^2+b^2=5}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Potęgowanie liczb zespolonych + równanie
Trochę wyżej mamy równość \(\displaystyle{ (a+bi)^2=3+4i}\).
Wartość bezwzględna lewej strony jest równa \(\displaystyle{ |(a+bi)^2|=|a+bi|^2=a^2+b^2}\).
Wartość bezwzględna prawej strony to \(\displaystyle{ 5}\). Stąd otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ a^2+b^2=5}\).
Wartość bezwzględna lewej strony jest równa \(\displaystyle{ |(a+bi)^2|=|a+bi|^2=a^2+b^2}\).
Wartość bezwzględna prawej strony to \(\displaystyle{ 5}\). Stąd otrzymujemy równość
\(\displaystyle{ a^2+b^2=5}\).