Matematyka.pl

witam. mam mały problem. staram sie od 2 dni zrozumiec liczby zespolone ale mi to nie idzie. moze ktos moglby rozwiazac (juz nie wytlumaczyc) te zadania, ktore beda na zaliczenie...

- za pomocą funkcji pojedynczego kąta (alfa) przedstaw kąt sin2(alfa) oraz cos2(alfa) korzystajac z wlasnosci liczb zespolonych
- rozwiaz rownanie i(z+z*) + i(z-z*) = i-1 (z* to liczba sprzężona)
- oblicz pierwiastki kwadratowe liczby: 2-2i
- przedstaw w postaci biegunowej liczby: i oraz 3
- oblicz iloczyn oraz iloraz liczb: cos(pi/2) - isin(pi/2) oraz cos(pi/3) - isin(pi/3)
- oblicz pierwiastki kwadratowe liczby: 2 - 2 (pierwiastek z 3) i.

dzieki wielkie za pomoc....

Nie no, tutaj nie ma takich brutali, by komuś przyjemność odbierać rozwiązywania zadań.
W pierwszym podpunkcie skorzystaj ze wzoru de Moivre'a na potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej i ze wzoru dwumianowego Newtona do wyprowadzenia tych wzorów.
W drugim najłatwiej przyjąć sobie z = a+bi i z* = a-bi i rozwiązać zwyczajne równanie liniowe.
W trzecim albo skorzystaj ze wzoru, albo jak go nie masz w książce, to Ci podpowiem co nieco:
\(\displaystyle{ \sqrt{2-2i} = x+yi \ /^{2} \\ 2-2i = x^{2} - y^{2} + 2xyi}\)
Z tego masz układ równań, gdyż część rzeczywista i część zespolona po obu stronach równości muszą być sobie równe:
\(\displaystyle{ x^{2} - y^{2} = 2 \\ 2xy = -2}\)
Najbardziej oczywistym rozwiązaniem jest teraz wstawienie z drugiego za na przykłady ygrek do pierwszego i pamiętając o założeniach, że x i y e R rozwiązać równanie kwadratowe na x i wrócić do y. Mają Ci ostatecznie wyjść dwa pierwiastki.
W czwartym 'postać biegunowa' to jest postać trygonometryczna inaczej, czy po prostu tylko podajemy długość wektora i kąt nachylenia? W sumie to mało ważne, bo i tak musisz to zamieniać korzystając ze wzorów na postać trygonometryczną.
W piątym korzystasz wprost ze wzorów na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.
W szóstym tak samo jak w trzecim. Aha, do obu można jeszcze zastosować postać trygonometryczną i wzór de Moivre'a na pierwiastkowanie w takiej postaci. Myślę, że chyba tak będzie łatwiej.

Ponadto popraw swój zapis korzystając z TeXa, a jak coś Ci nie będzie chciało wyjść w zadaniu, to napisz konkretnie, gdzie utykasz, co zrobiłeś, a na pewno pomoc przyjdzie.

Temat Ci poprawię.

(3)
\(\displaystyle{ \sqrt{2-2i}=x+iy}\)
Podnosząc obustronnie do kwadratu mamy:
\(\displaystyle{ 2-2i=(x+iy)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2-2i=x^{2}+2ixy-y^{2}}\)
To doprowadza do układu równań:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x^2-y^2=2\\2xy=-2\end{array}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ x^2+2xy-y^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x^2+2xy+y^{2}-2y^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (x+y)^{2}-2y^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ (x+y-\sqrt{2}y)(x+y+\sqrt{2}y)=0}\)
\(\displaystyle{ y_{1}=x(1+\sqrt{2})}\) lub \(\displaystyle{ y_{2}=x(1-\sqrt{2})}\)
Do drugiego równania w układze równań podstawiamy \(\displaystyle{ y_{2}=x(1-\sqrt{2})}\)
Podstawienie \(\displaystyle{ y_{1}}\) daje sprzeczność (brak rozwiązań).
Dostajemy:
\(\displaystyle{ x^{2}=1+\sqrt{2}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ x_{1}=-\sqrt{1+\sqrt{2}}}\) lub \(\displaystyle{ x_{2}=\sqrt{1+\sqrt{2}}}\)
oraz z pierwszego równania w układzie równań:
\(\displaystyle{ y^{2}=\sqrt{2}-1}\), czyli odpowiednio:
\(\displaystyle{ y_{1}=\sqrt{\sqrt{2}-1}}\) oraz\(\displaystyle{ y_{2}=-\sqrt{\sqrt{2}-1}}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x_{1}=-\sqrt{1+\sqrt{2}}\\y_{1}=\sqrt{\sqrt{2}-1}\end{array}}\) lub \(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x_{2}=\sqrt{1+\sqrt{2}}\\y_{2}=-\sqrt{\sqrt{2}-1}\end{array}}\)
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2-2i}=-\sqrt{1+\sqrt{2}}+i \sqrt{\sqrt{2}-1}}\) lub
\(\displaystyle{ \sqrt{2-2i}=\sqrt{1+\sqrt{2}}-i \sqrt{\sqrt{2}-1}}\)

nie rozumiem tego pioerwszego :/ sin2alfa :/ jak to w ogole zacząć :/

To jest akurat proste:
ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^{2}=(cos2x+isin2x)}\)
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ (cosx+isinx)^{2}=cos^{2}x+2isinxcosx+(isinx)^{2}=cos^{2}x-sin^{2}x+i(2sinxcosx)}\)
Dwie liczby zespolone \(\displaystyle{ x,y \in C}\) sa równe, gdy:
\(\displaystyle{ x=y}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ re(x)=re(y)}\) i \(\displaystyle{ im(x)=im(y)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x}\)
\(\displaystyle{ sin2x=2sinxcosx}\)

dzieki... tak btw to umie rozne zadania z neta ale to co na kolosie bylo (to w 1szym poscie) jakies wykrecone :/ inaczej robilismy to wszystko. :/

Witam, mam problem z tym fragmentem, szczerze mówiąc nie wiem co tu się stało.
\(\displaystyle{ y_{1}=x(1+\sqrt{2} i y_{2}=x(1-\sqrt{2}}\)