Postać kanoniczna liczby zespolonej
-
- Użytkownik
- Posty: 79
- Rejestracja: 13 lis 2022, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 26
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 2 razy
Postać kanoniczna liczby zespolonej
Podczas rozmowy z moim przyjacielem wyszła dyskusja o tym co oznacza \(\displaystyle{ +}\) w zapisie kanonicznym liczby zespolonej \(\displaystyle{ a + ib.}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ a,b \in \RR,}\) z definicji wiemy, że \(\displaystyle{ i^2 = -1.}\)
Jednak co oznacza \(\displaystyle{ +}\)? Czytając o algebrze dowiedziałem się, że plus plusowi nie równy. Zacząłem się więc zastanawiać jak dodać liczbę rzeczywistą do liczby urojonej, bo z taką definicją się nie spotkałem. Wiemy jak dodawać liczby rzeczywiste (z aksjomatów), wiemy jak dodawać liczby zespolone (z definicji), ale co oznacza \(\displaystyle{ a + ib}\)?
Spotkałem się z opinią, że to tylko zapis.
Z drugiej strony możemy to też zinterpretować graficznie jako relację dwóch liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ +(a,b),}\) chociaż nie wiem czy słusznie. Z drugiej strony nie daje mi spokoju pytanie jak sobie z tym poradzić algebraicznie?
TLDR: Czym jest ten diabelski plus w zapisie \(\displaystyle{ a + ib}\)?
Wiemy, że \(\displaystyle{ a,b \in \RR,}\) z definicji wiemy, że \(\displaystyle{ i^2 = -1.}\)
Jednak co oznacza \(\displaystyle{ +}\)? Czytając o algebrze dowiedziałem się, że plus plusowi nie równy. Zacząłem się więc zastanawiać jak dodać liczbę rzeczywistą do liczby urojonej, bo z taką definicją się nie spotkałem. Wiemy jak dodawać liczby rzeczywiste (z aksjomatów), wiemy jak dodawać liczby zespolone (z definicji), ale co oznacza \(\displaystyle{ a + ib}\)?
Spotkałem się z opinią, że to tylko zapis.
Z drugiej strony możemy to też zinterpretować graficznie jako relację dwóch liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ +(a,b),}\) chociaż nie wiem czy słusznie. Z drugiej strony nie daje mi spokoju pytanie jak sobie z tym poradzić algebraicznie?
TLDR: Czym jest ten diabelski plus w zapisie \(\displaystyle{ a + ib}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 287
- Rejestracja: 18 lip 2022, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 40
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 41 razy
Re: Postać kanoniczna liczby zespolonej
Zbiór liczb zespolonych definiujesz jako \(\CC=\RR\times\RR\) z działaniami:
\((x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2)\)
\((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)\)
Funkcja \(\varphi:\RR\to\CC\) określona wzorem \(\varphi(x)=(x,0)\) jest naturalnym zanurzeniem zbioru liczb rzeczywistych w liczby zespolone. Funkcja ta pozwala utożsamić liczbę rzeczywistą \(x\) z liczbą zespoloną \((x,0)\). Ponadto liczbę zespoloną \((0,1)\) oznaczamy symbolem \(i\). Wtedy każdą liczbę zespoloną \((x,y)\) można zapisać jako \(x+iy\) (a ściślej, \(\varphi(x)+i\cdot\varphi(y)\)), gdzie symbol \(+\) oznacza dodawanie liczb zespolonych, zdefiniowane wyżej.
\((x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2, y_1+y_2)\)
\((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2+x_2y_1)\)
Funkcja \(\varphi:\RR\to\CC\) określona wzorem \(\varphi(x)=(x,0)\) jest naturalnym zanurzeniem zbioru liczb rzeczywistych w liczby zespolone. Funkcja ta pozwala utożsamić liczbę rzeczywistą \(x\) z liczbą zespoloną \((x,0)\). Ponadto liczbę zespoloną \((0,1)\) oznaczamy symbolem \(i\). Wtedy każdą liczbę zespoloną \((x,y)\) można zapisać jako \(x+iy\) (a ściślej, \(\varphi(x)+i\cdot\varphi(y)\)), gdzie symbol \(+\) oznacza dodawanie liczb zespolonych, zdefiniowane wyżej.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Postać kanoniczna liczby zespolonej
Jest łącznikiem materii (liczby rzeczywiste) z platońskim światem idei urojonej, którą wybitni teologowie uznają jako zaświaty połączone z wrotami piekielnymi,Czym jest ten diabelski plus
stąd Twoja uwaga o diabelskim plusie jest jak najbardziej na miejscu...
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4088
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 81 razy
- Pomógł: 1399 razy
Re: Postać kanoniczna liczby zespolonej
No offence ale imho ta odpowiedź kompletnie nie trafia w sedno sprawy być może jest zbyt lakoniczna i Cię nie zrozumiałem. Tu nie sumujemy liczby zespolonych, a rzeczywistą i czysto urojoną (a przynajmniej nic jest to jasne). Więc jest słuszne zastanawiać się czym jest \(\displaystyle{ +}\) pomiędzy. Co do pytania to następujące podejście
jest całkiem niezłe. Choć konwencje taką można uzasadnić bardziej systematycznie. Gdyby \(\displaystyle{ U,V}\) były przestrzeniami liniowymi nad wspólnym ciałem \(\displaystyle{ \sf{K}}\) to zbiór \(\displaystyle{ U \times V }\) z działaniami
- \(\displaystyle{ +:(U\times V)\times (U\times V)\to U\times V}\),
- \(\displaystyle{ \left( \alpha\cdot\right) _{\alpha\in {\sf{K}}}:U\times V\to U\times V}\),
\(\displaystyle{ (a,b)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi}\)
przy czym ostatnia równość przechodzi przez to utożsamienie (swoją drogą to jest to naturalne zanurzenie o którym pisał 3a174ad9764fefcb).
-
- Użytkownik
- Posty: 22245
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3762 razy
Re: Postać kanoniczna liczby zespolonej
A jak liczby zespolone zdefiniujesz jako zbiór macierzy `2\times 2` postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&-b\\b&a\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\) to sie okaże, że to po prostu dodawanie macierzy tylko zapisane przy użyciu konwencji \(\displaystyle{ a\leftrightarrow\begin{bmatrix} a&0\\0&a\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ i\leftrightarrow\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 716
- Rejestracja: 5 sty 2012, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 125 razy
Re: Postać kanoniczna liczby zespolonej
No offence Januszu ale uzmysłowienie Samoukowi Pierwszemu, że prosta rzeczywista jest zanurzona w płaszczyźnie zespolonej jest kluczowe, żeby pojął, że można dodać \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ ib}\)Janusz Tracz pisze: ↑16 kwie 2023, o 14:28
No offence ale imho ta odpowiedź kompletnie nie trafia w sedno sprawy być może jest zbyt lakoniczna i Cię nie zrozumiałem (...)
\(\displaystyle{ "+"}\) to nie jest tylko zapis!
Wykonujemy działania na liczbach zespolonych \(\displaystyle{ (a+bi)(c+di)}\) po prostu wymnażając nawiasy, nieprawdaż?
-
- Administrator
- Posty: 34370
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5208 razy
Re: Postać kanoniczna liczby zespolonej
Co jest konsekwencją definicji podanej przez 3a174ad9764fefcb.
JK