Matematyka.pl

Robie zadanie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \frac{1}{ (1-i)^2} }}\)

i mam problem z mianownikiem \(\displaystyle{ (1-i)^{2}}\) czy go obliczyć ze wzoru skróconego mnożenia czy ze wzoru na potęgowanie liczb zespolonych... Albo czy w ogóle jakoś inaczej ??

wrzucam link z częścią rozwiązania:)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{\frac{1}{(1-i)^2}}=}\)


a) \(\displaystyle{ (1-i)^2=}\)

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{1^2 - 1^2} = \sqrt{2} \\ \\
\left. \begin{array}{l}
\cos \varphi = \frac{x}{z} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\
\sin \varphi = \frac{y}{z} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array} \right\} \quad
\begin{array}{l}
\text{IV ćw} \quad \varphi = 2 \pi - \alpha_0 \\
\alpha_0 : \frac{\pi}{4} \\
\frac{8}{4} \pi - \frac{1}{4} \pi = \underline{\frac{7}{4} \pi}
\end{array}}\)



\(\displaystyle{ \begin{array}{cl}
& \displaystyle \left( \sqrt{2} \right)^2 \left( \cos \left( \frac{7}{\not \! 4 _2} \pi \cdot \frac{^1 \! \! \not 2}{1} \right) + i \sin \left( \frac{7}{\not \! 4 _2} \pi \cdot \frac{\not 2 ^1}{1} \right) \right) \\ \\
= & \displaystyle 2 \left( \cos \frac{7}{2} \pi + i \sin \frac{7}{2} \pi \right) \\ \\
& \displaystyle 2 \left( \cos \left( \Big/ {\hskip -8 pt} 3 \pi + \frac{1}{2} \pi \right) + i \sin \left( \Big/ {\hskip -8 pt} 3 \pi + \frac{1}{2} \pi \right) \right) \\ \\
& \displaystyle 2 \left( \cos \frac{1}{2} \pi + i \sin \frac{1}{2} \pi \right) = 2(0+1) = \underline{2}
\end{array}}\)

Nie wiem, co trzeba zrobić w tym Twoim zadaniu, ale jeśli mamy przekształcić tę liczbę do jakiejś innej postaci, to ja bym podniósł ten mianownik do kwadratu, żeby wiedzieć przez co sprzęgnąć mianownik.

\(\displaystyle{ \frac{1}{ (1-i)^{2} } = \frac{1}{1 - 2i -1} = \frac{1}{-2i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{2}}\)

Dalej powinieneś sobie już sam poradzić.