Podnosząc do kwadratu otrzymujemy nierówność
\(\displaystyle{ \sum \left| z_1 + z_2 \right|^2 + 2\sum \left|(z_1 + z_2 )( z_2 + z_3 )\right| \le \left| z_1 + z_2 + z_3 \right|^2 + \sum \left| z_1 \right|^2 + 2\left| z_1 + z_2 + z_3 \right| \sum \left| z_1 \right| + 2\sum \left| z_1 z_2 \right|}\)
Łatwo sprawdzić, że
\(\displaystyle{ \left| z_1 + z_2 \right|^2 + \left| z_2 + z_3 \right|^2 + \left| z_3 + z_1 \right|^2 = \left| z_1 \right|^2 + \left| z_2 \right|^2 + \left| z_3 \right|^2 + \left| z_1 + z_2 + z_3 \right|^2}\)
Pozostaje więc wykazać, że
\(\displaystyle{ \sum \left| (z_1+z_2)(z_2 + z_3) \right| \le \sum \left( \left| z_1 + z_2 + z_3 \right| \cdot \left| z_2 \right| + \left| z_1 z_3 \right| \right)}\)
To jednak jest prawdą, gdyż
\(\displaystyle{ \left| (z_1+z_2)(z_2 + z_3 ) \right| = \left| z_2( z_1 + z_2 + z_3 ) + z_1 z_3 \right| \le \left| z_2 \right| \cdot \left| z_1+z_2+z_3 \right| + \left| z_1 z_3 \right|}\)
na mocy nierówności trójkąta.