Matematyka.pl

Xenon02 pisze: ↑26 lis 2022, o 23:35 Ja tak na serio pytam. Coś źle doprecyzowałem ?

Bardzo koślawo formułujesz wszelkie swoje myśli matematyczne. Zazwyczaj muszę się domyślać, o co może Ci chodzić. A ponieważ tego na razie nie przeskoczymy, więc nie chcę wdawać się w dyskusje na temat formy matematycznej wypowiedzi. "Mniej więcej", czyli o ile poprawnie domyślam się, o co Ci chodzi.

Xenon02 pisze: ↑26 lis 2022, o 23:35 "Wszystko to, co nie spełnia definicji jednomianu"

Czyli co nie spełnia ?

Ty tak na serio? Oczekujesz, że będę wymieniał, co nie jest jednomianem? Jest pierdyliard różnych rzeczy, które nie są jednomianami.

Xenon02 pisze: ↑26 lis 2022, o 23:35 Jednomian to liczba stojąca przy zmiennej.

Niezupełnie. Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych (jednej bądź więcej). I dlatego \(\displaystyle{ z(x)}\) nie jest wielomianem, bo nie jest iloczynem liczby i zmiennych.

Xenon02 pisze: ↑26 lis 2022, o 23:35 Skoro \(\displaystyle{ z = 2x}\) oraz \(\displaystyle{ z(x)=2x}\) mogę intepretować jako podstawienie, a nie jako funkcje to co ich różni?

Bo jak interpretuję \(\displaystyle{ z^2+ z + 1}\) i \(\displaystyle{ z(x)^2+ z(x) + 1}\) jako funkcje to "z" jest zmienną tej funkcji natomiast w drugiej funkcji to x jest zmienną tej funkcji bo w pierwszej gubiona jest informacja o tym że "z" jest zależne od "2x". Natomiast w z(x) już ta informacja nie jest gubiona jak dobrze rozumiem ? Chociaż to są tylko znaczki. To zapis z(x) jakby musi oznaczać że "z" jest funkcją gdzie zmienna to "x". Natomiast jak mamy tylko "z" to niby jest funkcja ale ukryta ?

Zapisu \(\displaystyle{ z(x)}\) używamy, gdy chcemy podkreślić zależność tego wyrażenia od zmiennej \(\displaystyle{ x}\) (czyli w Twoim języku traktujemy \(\displaystyle{ z(x)}\) jako funkcję), co nie zmienia faktu, że możemy używać go do podstawienia. Ale tak naprawdę żaden matematyk nie zawraca sobie głowy takimi różnicami, bo to jest tworzenie sztucznych problemów. Matematyka nie zajmuje się znaczkami, znaczki pełnią tylko rolę pomocniczą.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑27 lis 2022, o 00:03

Xenon02 pisze: ↑26 lis 2022, o 23:35 Jednomian to liczba stojąca przy zmiennej.

Niezupełnie. Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych (jednej bądź więcej). I dlatego \(\displaystyle{ z(x)}\) nie jest wielomianem, bo nie jest iloczynem liczby i zmiennych.

Xenon02 pisze: ↑26 lis 2022, o 23:35 Skoro \(\displaystyle{ z = 2x}\) oraz \(\displaystyle{ z(x)=2x}\) mogę intepretować jako podstawienie, a nie jako funkcje to co ich różni?

Bo jak interpretuję \(\displaystyle{ z^2+ z + 1}\) i \(\displaystyle{ z(x)^2+ z(x) + 1}\) jako funkcje to "z" jest zmienną tej funkcji natomiast w drugiej funkcji to x jest zmienną tej funkcji bo w pierwszej gubiona jest informacja o tym że "z" jest zależne od "2x". Natomiast w z(x) już ta informacja nie jest gubiona jak dobrze rozumiem ? Chociaż to są tylko znaczki. To zapis z(x) jakby musi oznaczać że "z" jest funkcją gdzie zmienna to "x". Natomiast jak mamy tylko "z" to niby jest funkcja ale ukryta ?

Zapisu \(\displaystyle{ z(x)}\) używamy, gdy chcemy podkreślić zależność tego wyrażenia od zmiennej \(\displaystyle{ x}\) (czyli w Twoim języku traktujemy \(\displaystyle{ z(x)}\) jako funkcję), co nie zmienia faktu, że możemy używać go do podstawienia. Ale tak naprawdę żaden matematyk nie zawraca sobie głowy takimi różnicami, bo to jest tworzenie sztucznych problemów. Matematyka nie zajmuje się znaczkami, znaczki pełnią tylko rolę pomocniczą.

To znaczy \(\displaystyle{ z(x)}\) to jest tylko literka, więc też nie jest tak że mogę ją traktować jako zmienną ? Czyli wtedy byłby iloczyn \(\displaystyle{ 1\cdot z(x)}\) czyli niby jest liczba i jest zmienna ?

Bo znaczenie znaczków zależy od interpretacji.

Albo jak to wcześniej podawałeś różnice \(\displaystyle{ z}\) od \(\displaystyle{ z(x)}\) jeśli interpretujemy je jako funkcje a nie jako podstawienie.

A co do znaczków, to rozumiem że mają pełnić rolę pomocniczą, ale często opisują pewne funkcje albo funkcje 3D tak to nazwę. Więc sądziłem że to dosyć ważna kwestia.

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 00:12 To znaczy \(\displaystyle{ z(x)}\) to jest tylko literka, więc też nie jest tak że mogę ją traktować jako zmienną ? Czyli wtedy byłby iloczyn \(\displaystyle{ 1\cdot z(x)}\) czyli niby jest liczba i jest zmienna ?

Nie! \(\displaystyle{ z(x)}\) to NIE JEST literka - to są dwie literki i dwa nawiasy!

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 00:12 A co do znaczków, to rozumiem że mają pełnić rolę pomocniczą, ale często opisują pewne funkcje albo funkcje 3D tak to nazwę. Więc sądziłem że to dosyć ważna kwestia.

Ale co jest ważną kwestią? Funkcje - tak, są ważne. A znaczki służą tylko do opisu tych funkcji.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑27 lis 2022, o 00:17

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 00:12 To znaczy \(\displaystyle{ z(x)}\) to jest tylko literka, więc też nie jest tak że mogę ją traktować jako zmienną ? Czyli wtedy byłby iloczyn \(\displaystyle{ 1\cdot z(x)}\) czyli niby jest liczba i jest zmienna ?

Nie! \(\displaystyle{ z(x)}\) to NIE JEST literka - to są dwie literki i dwa nawiasy!

I to z że ma dwa nawiasy powoduje że \(\displaystyle{ z(x)}\) nie jest jednomianem ?

Jan Kraszewski pisze: ↑27 lis 2022, o 00:17

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 00:12 A co do znaczków, to rozumiem że mają pełnić rolę pomocniczą, ale często opisują pewne funkcje albo funkcje 3D tak to nazwę. Więc sądziłem że to dosyć ważna kwestia.

Ale co jest ważną kwestią? Funkcje - tak, są ważne. A znaczki służą tylko do opisu tych funkcji.

JK

Spróbuję po następnej odpowiedzi zrobić jakby zestawienie wszystkich wiadomości. Jeśli będą one poprawne to kończę tematykę. Ponieważ trochę się czuję winny męcząc was głupimi pytaniami.

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 00:22I to z że ma dwa nawiasy powoduje że \(\displaystyle{ z(x)}\) nie jest jednomianem ?

Oczywiście!

JK

To nie jest sarkazm ? Nie potrafię tego wyczuć w tekście.
Czyli mam rację ?

Nie, to nie jest sarkazm! Wyrażenie \(\displaystyle{ z(x)}\) nie jest iloczynem liczby i zmiennych (tylko zupełnie innym napisem), więc nie jest jednomianem.

Co oczywiście w niczym nie przeszkadza temu, że wyrażenie to może zostać wykorzystane do opisu funkcji, której wzorem jest jednomian, np. \(\displaystyle{ z(x)=2x.}\) Ale tutaj \(\displaystyle{ 2x}\) jest tym jednomianem.

JK

Załóżmy, że `x,y,z,a,b,c` są niezależnymi zmiennymi, jednomianami są
`-1, 3x, 5y^3, \pi x^2a, abcxyz, \sqrt{2}a^{2022}b^4c^7`

Jednomianami nie są
`\sqrt{x}, a-b, \sin(a), 1/y, \ln(z)`

Aby zbudowac ze zmiennych i stałych jednomian, wolno korzystać jedynie z MNOŻENIA

Wielomiany to sumy jednomianów: `7x^2-3xy+4abcy^2-9888857648478283862, x-y+\sqrt{2}`

Wielomianami nie są `x-1/z^2, x-y+\sqrt{z}`

Tu możesz używać jednomianów oraz DODAWANIA i ODEJMOWANIA

Matematyka to nie tylko znaczki. Stosuje się również zwykły język, żeby opisać to, co chcemy robić. W ten sposób wprowadzamy KONTEKST. Jeżeli napiszesz

Niech `W(x,y,z)=3x^2-zy`

definiujesz (nazywasz) literką `W` wielomian opisany po prawej stronie równości. Możesz go traktować jak funkcję, która trójce liczb `(x,y,z)` przypisuje wartość wyrażenia `3x^2-zy`.
Zapis

Niech `W=3x^2-zy`

MOŻE oznaczać to samo, ale MOŻE też oznaczać, że wprowadzasz nową zmienną o nazwie `W`

Odpowiedz na pytanie: czym jest `W` w tym rozumowaniu?:

Rozwiąż równanie
(*) `9x^2-6xy+y^2-9x+3y+2=0`
Rozwiązanie
Łatwo zauważyć, że `9x^2-6xy+y^2-9x+3y+2=(3x-y)^2-3(3x-y)+2`. Niech `W=3x-y`. Wtedy równanie przybiera postać `W^2-3W+2=0`. Stąd `W=1` lub `W=2`.
Rozwiązanie równania (*) są zatem dwie proste o równaniach `3x-y=1` i `3x-y=2`

Może się zdarzyć tak, że pewna zmienna zależy od innej zmiennej. Np. wiemy z fizyki, że ciśnienie (`p`), objetość (`V`) i temperatura (`T`) gazu powiązane sa równaniem \(\displaystyle{ \frac{pV}{T}=R}\) gdzie `R` jest STAŁĄ.
Wyrażenie `T^2-3T` jest wielomianem jednej zmiennej `T`, ale jednocześnie jest wielomianem dwóch zmiennych `p,V`, bo jest równe
`p^2V^2/R^2-3pV/R`

Natomiast wyrażenie `V^2-3V` jest wielomianem jednej zmiennej `V`, ale nie jest wielomianem dwóch zmiennych `p,T`. DLACZEGO? Jak widzisz, to samo wyrażenie (bo w końcu `T^2-3T` i `V^2-3V` niczym się od siebie nie różnią - opisują ten sam wielomian) może być wielomianem lub nie być. Wszystko zależy od kontekstu.

Dlatego jeżeli chcesz używać znaczków, to musisz mieć świadomość KONTEKSTU w jakim one się pojawiają. A dla uświadomienia sobie tego kontekstu potrzebna jest owa kultura matematyczna, o której wspomniał JK

Dobrze postaram się zrobić taki kompendium tego czego się dowiedziałem dając przy okazji jakieś przykłady.

Mogliście sprawdzić czy ten post ma jakiś sens ?

Wracając.
Ogółem rzecz biorąc znaczki mogą oznaczać różne rzeczy w zależności od kontekstu ale są pewne zasady.

1. Jednomian to jest iloczyn stałej z jakąś zmienną czyli np : \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ 2x}\), \(\displaystyle{ \sqrt{2}\cdot y}\), \(\displaystyle{ abcdefg}\) itd.
Jednomianami nie są natomiast : \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) pytanie dobre dlaczego nie jest ? skoro \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) już jest jednomianem ? Zapewne wynika to z faktu że \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) to dalej pewna stała \(\displaystyle{ \approx 1,41}\) czyli dalej jest zachowana zasada że jest to stała, natomiast zapis \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) już nie jest samą zmienną. Jeśli dobrze zrozumiałem to że zmienna nie może mieć \(\displaystyle{ z(x) }\), \(\displaystyle{ \sin(x)}\), \(\displaystyle{ 2^x}\) to zasada jest pewnie taka że te znaczki muszą być bez "dodatków". Można mnożyć jednomiany, ale nie można też ich dodawać lub odejmować. Chociaż zapis \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) jest też tożsame z \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{2}}}\), potęgi można dodawać do jednomianów ale zapewne jest to kolejna zasada że muszą być naturalne i całkowite tego nie jestem pewny.

2. Wielomian natomiast to są dodane lub odjęte jednomiany w postaci : \(\displaystyle{ w^2 + 4}\) albo \(\displaystyle{ x - y - z^2}\). Wielomianami nie są \(\displaystyle{ \sin(x)+4}\) ponieważ \(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest jednomianem, a czemu nie jest jednomianem ? Bo zmienna jest inaczej zapisana. Czemu taki zapis przeszkadza ? Nie jestem jeszcze do końca pewny, pewnie ten znaczek np \(\displaystyle{ z(x)}\) może opisywać funkcję, może też być użyte jako podstawienie, tylko teraz czemu nie może być uznawane jako jednomian ? Czy jest to tylko kwestia zapisu że zmienna \(\displaystyle{ Z}\) ma nawiasu oraz \(\displaystyle{ x}\) ? Ponieważ \(\displaystyle{ z(x)}\) może być zmienną, oraz może też być podstawieniem, jednak co takie podstawienie mogłoby mi dać ?

Dodano po 9 minutach 40 sekundach:

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 13:39 Dobrze postaram się zrobić taki kompendium tego czego się dowiedziałem dając przy okazji jakieś przykłady.

Mogliście sprawdzić czy ten post ma jakiś sens ?

Wracając.
Ogółem rzecz biorąc znaczki mogą oznaczać różne rzeczy w zależności od kontekstu ale są pewne zasady.

1. Jednomian to jest iloczyn stałej z jakąś zmienną czyli np : \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ 2x}\), \(\displaystyle{ \sqrt{2} *y}\), \(\displaystyle{ abcdefg}\) itd.
Jednomianami nie są natomiast : \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) pytanie dobre dlaczego nie jest ? skoro \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) już jest jednomianem ?
Zapewne wynika to z faktu że \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) to dalej pewna stała \(\displaystyle{ \approx 1,41}\) czyli dalej jest zachowana zasada że jest to
stała, natomiast zapis \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) już nie jest samą zmienną. Jeśli dobrze zrozumiałem to że zmienna nie może mieć \(\displaystyle{ z(x)
}\), \(\displaystyle{ sin(x)}\), \(\displaystyle{ 2^x}\) to zasada jest pewnie taka że te znaczki muszą być bez "dodatków". Można mnożyć jednomiany ale
nie można też ich dodawać lub odejmować. Chociaż zapis \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) jest też tożsame z \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{2}}}\), potęgi można
dodawać do jednomianów ale zapewne jest to kolejna zasada że muszą być naturalne i całkowite tego nie jestem pewny.

2. Wielomian natomiast to są dodane lub odjęte jednomiany w postaci : \(\displaystyle{ w^2 + 4}\) albo \(\displaystyle{ x - y - z^2}\). Wielomianami nie są
\(\displaystyle{ \sin(x)+4}\) ponieważ \(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest jednomianem, a czemu nie jest jednomianem ? Bo zmienna jest inaczej zapisana.
Czemu taki zapis przeszkadza ? Nie jestem jeszcze do końca pewny, pewnie ten znaczek np \(\displaystyle{ z(x)}\) może opisywać funkcję, może też być
użyte jako podstawienie, tylko teraz czemu nie może być uznawane jako jednomian ? Czy jest to tylko kwestia zapisu że zmienna Z ma nawiasu oraz
x ? Ponieważ \(\displaystyle{ z(x)}\) może być zmienną, oraz może też być podstawieniem, jednak co takie podstawienie mogłoby mi dać ?

Co rozumiemy przez podstawienie ? jeśli mamy \(\displaystyle{ z(x) = 2x}\) to traktujemy to jako równość. Ta równość ma opisywać że chcemy podstawić zamiast \(\displaystyle{ 2x}\) to \(\displaystyle{ z(x)}\), albo możemy traktować \(\displaystyle{ z(x) = 2x}\) jako funkcję w której Z przyjmuje wynik działania \(\displaystyle{ 2x}\). Tak samo zapis : \(\displaystyle{ z = 2x}\) jest to równość. W której możemy traktować "z" jako podstawienie albo jako funkcję.
Funkcja "z" oraz z "z(x)" byłaby taka sama a przynajmniej rysunek wyglądałby tak samo.

Pytaniem teraz jest : Jaki jest problem w zapisie \(\displaystyle{ z(x) = 2x}\) czemu ten znaczek jest inny od innych znaczków i nie można sobie jego traktować jak \(\displaystyle{ z = 2x}\) w kwestii podstawienia do wielomianu.

a4karo pisze: ↑27 lis 2022, o 03:56 Załóżmy, że `x,y,z,a,b,c` są niezależnymi zmiennymi, jednomianami są
`-1, 3x, 5y^3, \pi x^2a, abcxyz, \sqrt{2}a^{2022}b^4c^7`

Jednomianami nie są
`\sqrt{x}, a-b, \sin(a), 1/y, \ln(z)`

Aby zbudowac ze zmiennych i stałych jednomian, wolno korzystać jedynie z MNOŻENIA

Wielomiany to sumy jednomianów: `7x^2-3xy+4abcy^2-9888857648478283862, x-y+\sqrt{2}`

Wielomianami nie są `x-1/z^2, x-y+\sqrt{z}`

Tu możesz używać jednomianów oraz DODAWANIA i ODEJMOWANIA

Matematyka to nie tylko znaczki. Stosuje się również zwykły język, żeby opisać to, co chcemy robić. W ten sposób wprowadzamy KONTEKST. Jeżeli napiszesz

Niech `W(x,y,z)=3x^2-zy`

definiujesz (nazywasz) literką `W` wielomian opisany po prawej stronie równości. Możesz go traktować jak funkcję, która trójce liczb `(x,y,z)` przypisuje wartość wyrażenia `3x^2-zy`.
Zapis

Niech `W=3x^2-zy`

MOŻE oznaczać to samo, ale MOŻE też oznaczać, że wprowadzasz nową zmienną o nazwie `W`

Odpowiedz na pytanie: czym jest `W` w tym rozumowaniu?:

Rozwiąż równanie
(*) `9x^2-6xy+y^2-9x+3y+2=0`
Rozwiązanie
Łatwo zauważyć, że `9x^2-6xy+y^2-9x+3y+2=(3x-y)^2-3(3x-y)+2`. Niech `W=3x-y`. Wtedy równanie przybiera postać `W^2-3W+2=0`. Stąd `W=1` lub `W=2`.
Rozwiązanie równania (*) są zatem dwie proste o równaniach `3x-y=1` i `3x-y=2`

Odpowiedź. Nie czytaj, zanim nie wymyślisz własnej:    

Ozywiśćie możęsz potraktować `W` jako wielomian dwóch zmiennych `x,y`. Ale istotne w tym rozwiązaniu, że dla uproszczenia zapisu i dla ułatwienia znalezienia rozwiązania oznaczyłem sobie literką `W` wyrażenie `3x-y`. I nie ma tu najmniejszego znaczenia, że wyrażenie to jest wielomianem.

Tak samo rozwiązywałbym równanie `(3\sqrt{x}-\ln y)^2-3(3\sqrt{x}-\ln y)+2=0`

Może się zdarzyć tak, że pewna zmienna zależy od innej zmiennej. Np. wiemy z fizyki, że ciśnienie (`p`), objetość (`V`) i temperatura (`T`) gazu powiązane sa równaniem \(\displaystyle{ \frac{pV}{T}=R}\) gdzie `R` jest STAŁĄ.
Wyrażenie `T^2-3T` jest wielomianem jednej zmiennej `T`, ale jednocześnie jest wielomianem dwóch zmiennych `p,V`, bo jest równe
`p^2V^2/R^2-3pV/R`

Natomiast wyrażenie `V^2-3V` jest wielomianem jednej zmiennej `V`, ale nie jest wielomianem dwóch zmiennych `p,T`. DLACZEGO?

Odpowiedź. Nie czytaj, zanim nie wymyślisz własnej:    

`V^2-3V=R^2T^2/p^2-3RT/p` więc potęga przy zmiennej `p` jest ujemna w obu składnikach, co oznacza że nie są one jednomianami

Jak widzisz, to samo wyrażenie (bo w końcu `T^2-3T` i `V^2-3V` niczym się od siebie nie różnią - opisują ten sam wielomian) może być wielomianem lub nie być. Wszystko zależy od kontekstu.

Dlatego jeżeli chcesz używać znaczków, to musisz mieć świadomość KONTEKSTU w jakim one się pojawiają. A dla uświadomienia sobie tego kontekstu potrzebna jest owa kultura matematyczna, o której wspomniał JK

Mniej więcej chyba łapię czemu V nie jest wielomianem dwóch zmiennych ponieważ p ma ujemną potęgę natomiast przy T, literka R jest stałą więc może być ujemnej potęgi bo to jest dalej liczba. Natomiast \(\displaystyle{ p^{-2}}\) już nie może być bo to jest ujemna potęga ? Chociaż nie wiem czemu to go dyskwalifikuje.

\(\displaystyle{ W(x,y,z) = 3x^2 - zy}\) oraz \(\displaystyle{ W = 3x^2 -zy}\) mogą oznaczać to samo czyli funkcję 3 zmiennych ale \(\displaystyle{ W}\) może oznaczać nową zmienna natomiast \(\displaystyle{ W(x,y,z)}\) już nie może być zmienną ? Ponieważ ?

Dodano po 2 godzinach 17 minutach 22 sekundach:
Co o tym sądzicie ?

Dodano po 3 godzinach 27 minutach 20 sekundach:
Czy to co tam napisałem ma jakiś sens ?

Ja się poddaję. Masz rację, zmienną może być wszystko. Na przykład `\sin^2(x)-2\sin(x)+5` jest wielomianem zmiennej `\sin(x)`, a funkcja `W(x,y,z)` jest zmienną w wyrażeniu \(\displaystyle{ F(W)=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\left(W_x-2W_y+3W_z\right)dxdydz}\)

Tyle, że potrafimy to zidentyfikować posiadając to, o czym pisał JK - w pewnym momencie poświęcamy formalizmy na rzecz praktyki. Ale możemy to robić wtedy, gdy uświadamiamy sobie co poświęcamy.

Na Twoim poziomie `\sqrt{x} `nie jest jednomianem, bo nie spełnia definicji - `\sqrt{x}` NIE jest zmienną. Podobnie jak `\sin(x)` nie jest zmienną.
`p^{-2}` nie jest jednomianem zmiennej `p`, bo nie może być z niej otrzymany przez MNOŻENIE

Dodano po 9 minutach 38 sekundach:
Powiem Ci jeszcze coś: `5` może być zmienną. Przecież to taki sam symbol jak `x, y, W`. I możesz go używać, pod warunkiem że przekonasz czytelników, że `5` nie oznacza liczby "pięć"

a4karo pisze: ↑27 lis 2022, o 21:12w pewnym momencie poświęcamy formalizmy na rzecz praktyki. Ale możemy to robić wtedy, gdy uświadamiamy sobie co poświęcamy.

Dobrze mówi.

a4karo pisze: ↑27 lis 2022, o 21:12Powiem Ci jeszcze coś: `5` może być zmienną. Przecież to taki sam symbol jak `x, y, W`. I możesz go używać, pod warunkiem że przekonasz czytelników, że `5` nie oznacza liczby "pięć"

To już mogłeś sobie darować... Chłopak może się po tym nie pozbierać.

JK

a4karo pisze: ↑27 lis 2022, o 21:12 Ja się poddaję. Masz rację, zmienną może być wszystko. Na przykład `\sin^2(x)-2\sin(x)+5` jest wielomianem zmiennej `\sin(x)`, a funkcja `W(x,y,z)` jest zmienną w wyrażeniu \(\displaystyle{ F(W)=\int_0^1\int_0^1\int_0^1\left(W_x-2W_y+3W_z\right)dxdydz}\)

Tyle, że potrafimy to zidentyfikować posiadając to, o czym pisał JK - w pewnym momencie poświęcamy formalizmy na rzecz praktyki. Ale możemy to robić wtedy, gdy uświadamiamy sobie co poświęcamy.

Na Twoim poziomie `\sqrt{x} `nie jest jednomianem, bo nie spełnia definicji - `\sqrt{x}` NIE jest zmienną. Podobnie jak `\sin(x)` nie jest zmienną.
`p^{-2}` nie jest jednomianem zmiennej `p`, bo nie może być z niej otrzymany przez MNOŻENIE

Dodano po 9 minutach 38 sekundach:
Powiem Ci jeszcze coś: `5` może być zmienną. Przecież to taki sam symbol jak `x, y, W`. I możesz go używać, pod warunkiem że przekonasz czytelników, że `5` nie oznacza liczby "pięć"

Jan Kraszewski pisze: ↑27 lis 2022, o 21:21

a4karo pisze: ↑27 lis 2022, o 21:12w pewnym momencie poświęcamy formalizmy na rzecz praktyki. Ale możemy to robić wtedy, gdy uświadamiamy sobie co poświęcamy.

Dobrze mówi.

a4karo pisze: ↑27 lis 2022, o 21:12Powiem Ci jeszcze coś: `5` może być zmienną. Przecież to taki sam symbol jak `x, y, W`. I możesz go używać, pod warunkiem że przekonasz czytelników, że `5` nie oznacza liczby "pięć"

To już mogłeś sobie darować... Chłopak może się po tym nie pozbierać.

JK

Ja już tam wiele razy wspominałem że to najbystrzejszych nie należę. I rzeczywiście potrzebuję pewnej praktyki w tym. Tylko jakoś czuję się że dalej czegoś nie rozumiem ... Tylko nie wiem co ... Jakby coś mi nie pasowało. Coś rozumiem a coś nie. Potem łącze te fakty z innymi faktami i tak jakoś nie jestem pewny tego co rozumiem.

Przepraszam jeśli zmarnowałem wasz czas. Chciałem się czegoś nauczyć a zamiast tego znowu zdenerwowałem kolejne forum ...
Postaram się może to jeszcze poukładać.

Ale ogółem to co sądzicie o tym co napisałem ?
W razie czego można dodać jakieś poprawki, albo czy macie jakieś sugestie. Bo będę dalej starał się to zrozumieć w szerszym konteście.
Wiem też że to wydaje się być błahe co jest zabawne bo liczę bardziej skomplikowane rzeczy ale dosłownie podstawa nie daje mi spokoju. To tak jakbym trenował kickboksing ale nagle zapomniał czemu robię dany ruch, bo to robię z automatu. Ale to po prostu nie daje mi spokoju.

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 19:331. Jednomian to jest iloczyn stałej z jakąś zmienną czyli np : \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ 2x}\), \(\displaystyle{ \sqrt{2}\cdot y}\), \(\displaystyle{ abcdefg}\) itd.
Jednomianami nie są natomiast : \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) pytanie dobre dlaczego nie jest ? skoro \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) już jest jednomianem ? Zapewne wynika to z faktu że \(\displaystyle{ \sqrt{2} }\) to dalej pewna stała \(\displaystyle{ \approx 1,41}\) czyli dalej jest zachowana zasada że jest to stała, natomiast zapis \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) już nie jest samą zmienną. Jeśli dobrze zrozumiałem to że zmienna nie może mieć \(\displaystyle{ z(x) }\), \(\displaystyle{ \sin(x)}\), \(\displaystyle{ 2^x}\) to zasada jest pewnie taka że te znaczki muszą być bez "dodatków". Można mnożyć jednomiany, ale nie można też ich dodawać lub odejmować.

Niech będzie.

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 19:33Chociaż zapis \(\displaystyle{ \sqrt{x} }\) jest też tożsame z \(\displaystyle{ x^{ \frac{1}{2}}}\), potęgi można dodawać do jednomianów ale zapewne jest to kolejna zasada że muszą być naturalne i całkowite tego nie jestem pewny.

Tylko naturalne, bo podnoszenie do potęgi naturalnej odpowiada wielokrotnemu mnożeniu.

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 19:332. Wielomian natomiast to są dodane lub odjęte jednomiany w postaci : \(\displaystyle{ w^2 + 4}\) albo \(\displaystyle{ x - y - z^2}\).

Jednomiany też są wielomianami.

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 19:33Wielomianami nie są \(\displaystyle{ \sin(x)+4}\) ponieważ \(\displaystyle{ \sin(x)}\) nie jest jednomianem, a czemu nie jest jednomianem ?

Bo nie spełnia definicji jednomianu - nie jest iloczynem stałej i zmiennych.

JK

A co sądzisz o dalszej część bo tam też dawałem dygresję ?

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 19:33 Co rozumiemy przez podstawienie ? jeśli mamy \(\displaystyle{ z(x) = 2x}\) to traktujemy to jako równość. Ta równość ma opisywać że chcemy podstawić zamiast \(\displaystyle{ 2x}\) to \(\displaystyle{ z(x)}\), albo możemy traktować \(\displaystyle{ z(x) = 2x}\) jako funkcję w której Z przyjmuje wynik działania \(\displaystyle{ 2x}\). Tak samo zapis : \(\displaystyle{ z = 2x}\) jest to równość. W której możemy traktować "z" jako podstawienie albo jako funkcję.
Funkcja "z" oraz z "z(x)" byłaby taka sama a przynajmniej rysunek wyglądałby tak samo.

Pytaniem teraz jest : Jaki jest problem w zapisie \(\displaystyle{ z(x) = 2x}\) czemu ten znaczek jest inny od innych znaczków i nie można sobie jego traktować jak \(\displaystyle{ z = 2x}\) w kwestii podstawienia do wielomianu.

Nie rozumiem.

Xenon02 pisze: ↑27 lis 2022, o 19:33\(\displaystyle{ W(x,y,z) = 3x^2 - zy}\) oraz \(\displaystyle{ W = 3x^2 -zy}\) mogą oznaczać to samo czyli funkcję 3 zmiennych ale \(\displaystyle{ W}\) może oznaczać nową zmienna natomiast \(\displaystyle{ W(x,y,z)}\) już nie może być zmienną ? Ponieważ ?

Ponieważ na Twoje potrzeby zmienna to pojedyncza literka.

JK