Matematyka.pl

Dzień dobry.

Dostałem zadanie, w którym następującą liczbę zespoloną muszę przedstawić w postaci trygonometrycznej:

\(\displaystyle{ \frac{1+itg(a)}{1-i tg(a)}}\)

Założenie jest takie, że α ε

z tozsamosci eulera wiadomo ze
\(\displaystyle{ e^{ia}=cos(a)+i sin(a)}\)
oraz
\(\displaystyle{ e^{-ia}=cos(a)-i sin(a)}\)

czyli mozesz zapisac
\(\displaystyle{ \frac{e^{ia}}{e^{-ia}}}\)
czyli po prostu
\(\displaystyle{ (e^{ia})^{2}}\)

nie wiem czy akurat o to ci chodzilo no ale moze sie przyda :]

bisz pisze:czyli mozesz zapisac
\(\displaystyle{ \frac{e^{ia}}{e^{-ia}}}\)
czyli po prostu
\(\displaystyle{ (e^{ia})^{2}}\)

nie wiem czy akurat o to ci chodzilo no ale moze sie przyda :]

Tyle że to raczej przypomina mi postać wykładniczą, a dojść mam do trygonometrycznej. I wciąż nie wiem, co z tymi przedziałami mam uczynić.

Niemniej dzięki za pomoc.

może pomnożyć przez liczbę sprzężoną:
\(\displaystyle{ \frac{cos \alpha+isin \alpha}{cos \alpha-isin \alpha}=\frac{(cos \alpha+isin \alpha)(cos \alpha+isin \alpha)}{(cos \alpha-isin \alpha)((cos \alpha+isin \alpha))}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{(cos \alpha+isin \alpha)^2}{cos^2 \alpha+sin^2 \alpha}=(cos \alpha+isin \alpha)^2}\)
dalej ze wzoru Mivre'a
\(\displaystyle{ cos(2 \alpha)+isin(2 \alpha)}\)

wygląda mi na to, że założenie mówi o położeniu liczby w pierwszej ćwiartce układu, gdyby leżała w trzeciej lub w czwartej do argumentu trzeba by dodać liczbę \(\displaystyle{ \pi}\)

Abrasax, W_Zygmunt - niezmierne dzięki za pomoc.

Kukunamuniu pisze:
Tyle że to raczej przypomina mi postać wykładniczą, a dojść mam do trygonometrycznej.

Jeżeli mogę coś dodać to:

mając postać wykładniczą bardzo łatwo otrrzymać postać trzygonometryczną !

\(\displaystyle{ (e^{ia})^{2}=e^{i2a}}\)
stąd otrzymujemy, że moduł liczby jest równy \(\displaystyle{ 1}\), natomiast argument jest równy \(\displaystyle{ 2a}\) więc liczba w postaci trygonomerycznej wygląda tak: \(\displaystyle{ \cos (2a) + i \sin (2a)}\)