Udowodnić, że \(\displaystyle{ | e^{z^3+i} + e^{-iz^2} | \leq e^{x^3 - 3xy^2} + e^{2xy}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ x =\Re(z)}\)
\(\displaystyle{ y= \Im(z)}\)
Eksponenty
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
Anulus Smaragdinus
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 lut 2024, o 23:14
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 27
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 1 raz
Re: Eksponenty
Skorzystamy najpierw z faktu, iż liczby postaci \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\vartheta}\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(\vartheta\) leżą na okręgu jednostkowym, czyli ich moduł to \(1\).
Mamy
Mamy
\(\displaystyle{ z^{3} + \mathrm{i} = x^{3} - 3xy^{2} + \left(3x^{2}y - y^{3} + 1\right)\mathrm{i},}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left\lvert\mathrm{e}^{z^{3} + \mathrm{i}}\right\rvert = \mathrm{e}^{x^{3} - 3xy^{2}}.}\)
Podobnie
\(\displaystyle{ -\mathrm{i}z^{2} = 2xy + \left(y^{2} - x^{2}\right)\mathrm{i},}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left\lvert\mathrm{e}^{-\mathrm{i}z^{2}}\right\rvert = \mathrm{e}^{2xy}.}\)
Wreszcie, nierówność trójkąta mówi, iż \(\lvert a + b\rvert \leqslant \lvert a\rvert + \lvert b \rvert\) dla dowolnych liczb zespolonych \(a\) i \(b\), co daje
\(\displaystyle{
\left\lvert\mathrm{e}^{z^{3} + \mathrm{i}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}z^{2}}\right\rvert
\leqslant \mathrm{e}^{x^{3} - 3xy^{2}} + \mathrm{e}^{2xy}.
}\)
\left\lvert\mathrm{e}^{z^{3} + \mathrm{i}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}z^{2}}\right\rvert
\leqslant \mathrm{e}^{x^{3} - 3xy^{2}} + \mathrm{e}^{2xy}.
}\)