Matematyka.pl

\(\displaystyle{ v(x,y) = 4xy + 2y}\)
oraz \(\displaystyle{ f(1+2i) = 5 + 12i}\)

\(\displaystyle{ Vx = -Uy

Vy = Ux

Vx = 4y

Vy = 4x + 2}\)

zatem:

\(\displaystyle{ Uy = - \int 4y dy = -2y^2 + C}\)
\(\displaystyle{ Ux = \int 4x dx + 2\int dx = 2x^2 +2x + C}\)

zatem \(\displaystyle{ U = 2x^2 + 2x - 2y^2 + C}\)

zatem \(\displaystyle{ f(z) = 2x^2 +2x - 2y^2 + C + i(4xy +2y)}\)
i teraz za bardzo nie wiem jak podstawic to 1 + 2i do tego rownania

ja zrobilem to tak:

\(\displaystyle{ z = x + iy => x = 1, y = 2}\) i to podstawiam do rownania \(\displaystyle{ f(z)}\)

i z tego wychodzi mi:

\(\displaystyle{ f(1 + 2i) = C + 12i}\)
\(\displaystyle{ 5 + 12i = C +12i => C = 5}\)

to jest dobrze rozwiazane ?:> bo w odpowiedziach do tego zadania mam ze C = 9

Mnie uczono, ze sie to troszke inaczej liczy:
O ile dobrze pamietam, to robilo sie to jakos tak:
\(\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y}=-4y\\
u=-4\int y\mbox{d}y=-2y^2+C(x)\\
u_x=C'(x)\\
C'(x)=4x+2\\
C(x)=4\int x\mbox{d}x+2\int\mbox{d}x=2x^2+2x+D\\
u(x,y)=-2y^2+2x^2+2x+D}\)

Daje to ten sam wynik, chociaz inaczej przedstawione jest liczenie.
Dalej nie masz funkcji f(z), tylko f(x,y):
\(\displaystyle{ f(x,y)=-2y^2+2x^2+2x+D+i(4xy+2y)}\)
Teraz nalezaloby znalezc f(z) poslugujac sie np. takim czyms:
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=x+iy\\\overline{z}=x-iy\end{cases}\\
z+\overline{z}=x+iy+x-iy\\
x=\frac{z+\overline{z}}{2}\\
z-\overline{z}=x+iy-x+iy\\
y=\frac{z-\overline{z}}{2i}}\)

Ale faktycznie mozna podstawic odrazu ta liczbe jesli nie pytaja o jawny wzor funkcji:
\(\displaystyle{ f(1,2)=2+2-8+D+12i=-4+12i+D\\
-4+12i+D=5+12i\\
D=9}\)

Czyli wszystko zgodnie z odpowiedziami Pozdrawiam.

faktycznie, nie wiem jak ja te liczby podstawiłem. dzięki