Daje to zadanie do kategorii liczb zespolonych, ponieważ to zadanie pojawiło się w zestawie zadań ze liczb zespolonych.
Oblicz:
\(\displaystyle{ 1 - \sin x - \cos 2x + \sin 3x + \cos 4x + \ldots \pm \cos nx}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
Z góry dziękuję za pomoc
1 - sinx - cos2x + ...
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: 1 - sinx - cos2x + ...
Wskazówka: spróbuj przedstawić \(\displaystyle{ n}\)-ty składnik sumy w postaci \(\displaystyle{ \Re \, z^n}\) dla pewnej ustalonej liczby \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 28 gru 2021, o 17:34
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 10 razy
Re: 1 - sinx - cos2x + ...
Poprawka:
\(\displaystyle{ z = cosx + isinx }\)
Podzieliłem to na sumę ciągów geometrycznych cosinusów i sinusów
Cosinusy
\(\displaystyle{ Re((-1)^{\frac{0}{2}} * z^{0} + (-1)^{\frac{2}{2}} * z^{2} \pm ... \pm (-1)^{\frac{n}{2}} * z^{n})}\)
\(\displaystyle{ k = \{0,2,4,6,...\} \qquad a_{k} = (-1)^{\frac{k}{2}} * z^{k} \quad a_{1} = 1 \quad q = - z^{2}}\) wyrazów będzie \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)
Suma cosinusów równa się \(\displaystyle{ Re(\frac{1 - (-z^{2})^{\frac{n}{2}}}{1 + z^{2}})}\)
Sinusów
\(\displaystyle{ Im(-z + z^{3} \pm ... \pm z^{n-1}) }\)
\(\displaystyle{ j = \{1,3,5,...\} \qquad b_{j} = -z * (-z^{2})^{j-1} \quad b_{1} = -z \quad q = -z^{2}}\) wyrazów będzie \(\displaystyle{ \frac{n}{2} - 1}\)
Suma sinusów równa się \(\displaystyle{ Im(\frac{-z*(1 - (-z^{2})^{\frac{n}{2} - 1})}{1 + z^{2}})}\)
Więc suma równa się
\(\displaystyle{ Re(\frac{1 - (-z^{2})^{\frac{n}{2}}}{1 + z^{2}}) + Im(\frac{-z*(1 - (-z^{2})^{\frac{n}{2} - 1})}{1 + z^{2}}) }\)
Rozpisałem to tak:
\(\displaystyle{ z = cosx + isinx }\)
Podzieliłem to na sumę ciągów geometrycznych cosinusów i sinusów
Cosinusy
\(\displaystyle{ Re((-1)^{\frac{0}{2}} * z^{0} + (-1)^{\frac{2}{2}} * z^{2} \pm ... \pm (-1)^{\frac{n}{2}} * z^{n})}\)
\(\displaystyle{ k = \{0,2,4,6,...\} \qquad a_{k} = (-1)^{\frac{k}{2}} * z^{k} \quad a_{1} = 1 \quad q = - z^{2}}\) wyrazów będzie \(\displaystyle{ \frac{n}{2}}\)
Suma cosinusów równa się \(\displaystyle{ Re(\frac{1 - (-z^{2})^{\frac{n}{2}}}{1 + z^{2}})}\)
Sinusów
\(\displaystyle{ Im(-z + z^{3} \pm ... \pm z^{n-1}) }\)
\(\displaystyle{ j = \{1,3,5,...\} \qquad b_{j} = -z * (-z^{2})^{j-1} \quad b_{1} = -z \quad q = -z^{2}}\) wyrazów będzie \(\displaystyle{ \frac{n}{2} - 1}\)
Suma sinusów równa się \(\displaystyle{ Im(\frac{-z*(1 - (-z^{2})^{\frac{n}{2} - 1})}{1 + z^{2}})}\)
Więc suma równa się
\(\displaystyle{ Re(\frac{1 - (-z^{2})^{\frac{n}{2}}}{1 + z^{2}}) + Im(\frac{-z*(1 - (-z^{2})^{\frac{n}{2} - 1})}{1 + z^{2}}) }\)