Skaczące żaby
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Skaczące żaby
Sześć żab siedzi w wierzchołkach sześciokąta foremnego, jedna żaba w każdym wierzchołku. Żaby mogą przeskakiwać nad innymi. Jeżeli
żaba przeskakuje z punktu \(\displaystyle{ F}\) nad żabą znajdującą się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), to ląduje w punkcie \(\displaystyle{ F_0}\) takim, że punkty \(\displaystyle{ F, P , F_0}\) są na jednej prostej w takiej właśnie kolejności, a ponadto \(\displaystyle{ F_0P = 2FP}\). Czy możliwe jest, aby pewna żaba znalazła się w środku sześciokąta
żaba przeskakuje z punktu \(\displaystyle{ F}\) nad żabą znajdującą się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), to ląduje w punkcie \(\displaystyle{ F_0}\) takim, że punkty \(\displaystyle{ F, P , F_0}\) są na jednej prostej w takiej właśnie kolejności, a ponadto \(\displaystyle{ F_0P = 2FP}\). Czy możliwe jest, aby pewna żaba znalazła się w środku sześciokąta
-
- Użytkownik
- Posty: 1407
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 66 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Skaczące żaby
Czy dobrze przepisana jest treśćmol_ksiazkowy pisze: ↑26 sie 2023, o 22:02 Jeżeli żaba przeskakuje z punktu \(\displaystyle{ F}\) nad żabą znajdującą się w punkcie \(\displaystyle{ P}\), to ląduje w punkcie \(\displaystyle{ F_0}\) takim, że punkty \(\displaystyle{ F, P , F_0}\) są na jednej prostej w takiej właśnie kolejności, a ponadto \(\displaystyle{ F_0P = 2FP}\).
Nie miało być \(\displaystyle{ FF_0= 2FP}\)?? - czyli tak, aby żaba, przeskakując nad inną żabą, przeskoczyła symetrycznie dwukrotność odległości tych żab?? Czy dobrze przepisałeś treść tego zadania - moja wersja wygląda bardziej naturalnie...
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11415
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
Re: Skaczące żaby
Wydaje się, iż nie ma tu błędu... można więc rozwiązać zadanie także i w tej wersji.
-
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Skaczące żaby
Dlaczego wylądowanie w tej samej odległości ma być bardziej naturalne od wylądowania dwa razy dalej?Jakub Gurak pisze: ↑27 sie 2023, o 15:59Nie miało być \(\displaystyle{ FF_0= 2FP}\)?? - czyli tak, aby żaba, przeskakując nad inną żabą, przeskoczyła symetrycznie dwukrotność odległości tych żab?? Czy dobrze przepisałeś treść tego zadania - moja wersja wygląda bardziej naturalnie...
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
Re: Skaczące żaby
Podam rozwiązanie zadania w wersji oryginalnej. Odpowiedź jest negatywna.
Dowód:
Możemy założyć, że nasz sześciokąt foremny leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), ma środek w punkcie \(\displaystyle{ O=(0,0)}\) oraz wierzchołek w punkcie \(\displaystyle{ (2,0)}\). Gdy żaba z punktu \(\displaystyle{ F}\) skacze ponad żabą w punkcie \(\displaystyle{ P}\) do punktu \(\displaystyle{ F_0}\), to
(*) \(\displaystyle{ F_0= F + 3(P-F)}\).
Patrzymy na pierwsze współrzędne punktów, w których mogą znajdować się żaby (po jakiejś liczbie skoków). Początkowo są to liczby \(\displaystyle{ -2, -1, 1,2}\). Łatwa indukcja pokazuje, że zawsze te pierwsze współrzędne będą liczbami całkowitymi.
Ponadto na mocy (*), pierwsze współrzędne punktów \(\displaystyle{ F_0}\) i \(\displaystyle{ F}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).
Skoro w początkowym ustawieniu żab żadna z tych reszt nie jesr równa zero, to nigdy nie będzie tak, że pierwsza współrzędna pozycji żaby będzie podzielna przez zero. Dlatego nigdy żadna z żab nie skoczy do środka sześciokąta.
Można powiedzieć, że to jest zadanie z algebry liniowej...
W wersji Jakuba Guraka odpowiedź też jest negatywna.
Dowód:
Możemy założyć, że nasz sześciokąt foremny leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\), ma środek w punkcie \(\displaystyle{ O=(0,0)}\) oraz wierzchołek w punkcie \(\displaystyle{ (2,0)}\). Gdy żaba z punktu \(\displaystyle{ F}\) skacze ponad żabą w punkcie \(\displaystyle{ P}\) do punktu \(\displaystyle{ F_0}\), to
(*) \(\displaystyle{ F_0= F + 3(P-F)}\).
Patrzymy na pierwsze współrzędne punktów, w których mogą znajdować się żaby (po jakiejś liczbie skoków). Początkowo są to liczby \(\displaystyle{ -2, -1, 1,2}\). Łatwa indukcja pokazuje, że zawsze te pierwsze współrzędne będą liczbami całkowitymi.
Ponadto na mocy (*), pierwsze współrzędne punktów \(\displaystyle{ F_0}\) i \(\displaystyle{ F}\) dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\).
Skoro w początkowym ustawieniu żab żadna z tych reszt nie jesr równa zero, to nigdy nie będzie tak, że pierwsza współrzędna pozycji żaby będzie podzielna przez zero. Dlatego nigdy żadna z żab nie skoczy do środka sześciokąta.
Można powiedzieć, że to jest zadanie z algebry liniowej...
W wersji Jakuba Guraka odpowiedź też jest negatywna.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Skaczące żaby
Wersja pana Mola:
Liniuję całą płaszczyznę tak, że kolejnymi liniami są: prosta zawierająca bok sześciokąta, prosta przechodząca przez jego środek i prosta zawierająca drugi bok sześciokąta. Proste koloruję trzema barwami tak , że co trzecia jest w tym samym kolorze.
Skoro żaby skaczą tylko na punkty linii w tym samym kolorze co linia z której skaczą, to szansę na wskoczenie na środek sześciokąta mają tylko dwie żaby z prostej przez ten środek przechodzącej.
Jednak gdyby liniować prostymi równoległymi zawierającymi inne boki sześciokąta i analogicznie kolorować, to wyznaczone wcześniej dwie żaby nie będą siedziały na prostych o kolorze lini przechodzącej przez środek sześciokąta, więc nie nie mają szans na wskoczenie do środka sześciokąta, niezależnie od liczby skoków.
Ergo, odpowiedź jest negatywna.
Wersja Jakuba Guraka:
Liniuję całą płaszczyznę tak, że kolejnymi liniami są: prosta zawierająca bok sześciokąta, prosta przechodząca przez jego środek i prosta zawierająca drugi bok sześciokąta. Co drugą prostą maluję na czerwono.
Skoro żaby skaczą tylko na punkty linii w tym samym kolorze co linia z której skaczą, to szansę na wskoczenie na środek sześciokąta mają tylko dwie żaby z prostej przez ten środek przechodzącej.
Jednak gdyby liniować prostymi równoległymi zawierającymi inne boki sześciokąta, to wyznaczone wcześniej dwie żaby nie będą siedziały na prostych o kolorze lini przechodzącej przez środek sześciokąta, więc nie nie mają szans na wskoczenie do środka sześciokąta, niezależnie od liczby skoków.
Ergo, odpowiedź jest negatywna.
Liniuję całą płaszczyznę tak, że kolejnymi liniami są: prosta zawierająca bok sześciokąta, prosta przechodząca przez jego środek i prosta zawierająca drugi bok sześciokąta. Proste koloruję trzema barwami tak , że co trzecia jest w tym samym kolorze.
Skoro żaby skaczą tylko na punkty linii w tym samym kolorze co linia z której skaczą, to szansę na wskoczenie na środek sześciokąta mają tylko dwie żaby z prostej przez ten środek przechodzącej.
Jednak gdyby liniować prostymi równoległymi zawierającymi inne boki sześciokąta i analogicznie kolorować, to wyznaczone wcześniej dwie żaby nie będą siedziały na prostych o kolorze lini przechodzącej przez środek sześciokąta, więc nie nie mają szans na wskoczenie do środka sześciokąta, niezależnie od liczby skoków.
Ergo, odpowiedź jest negatywna.
Wersja Jakuba Guraka:
Liniuję całą płaszczyznę tak, że kolejnymi liniami są: prosta zawierająca bok sześciokąta, prosta przechodząca przez jego środek i prosta zawierająca drugi bok sześciokąta. Co drugą prostą maluję na czerwono.
Skoro żaby skaczą tylko na punkty linii w tym samym kolorze co linia z której skaczą, to szansę na wskoczenie na środek sześciokąta mają tylko dwie żaby z prostej przez ten środek przechodzącej.
Jednak gdyby liniować prostymi równoległymi zawierającymi inne boki sześciokąta, to wyznaczone wcześniej dwie żaby nie będą siedziały na prostych o kolorze lini przechodzącej przez środek sześciokąta, więc nie nie mają szans na wskoczenie do środka sześciokąta, niezależnie od liczby skoków.
Ergo, odpowiedź jest negatywna.