Matematyka.pl

Wróżka Carabosse ma magiczny kryształ, w którym ukazują się jej wydarzenia z przyszłości. Kryształ ten, po odpowiednim ułożeniu, ma jednakowe rzuty prostopadłe na każdą z trzech, wzajemnie prostopadłych płaszczyzn i spośród wszystkich brył o takich rzutach ma największą objętość. Rzuty kryształu są kwadratami o przekątnych równoległych do dwóch krawędzi, wzdłuż których przecinają się omawiane płaszczyzny i mają pola równe \(\displaystyle{ 64 cm^2}\).
Ile ścian ma magiczny kryształ i jaką ma powierzchnię?

Takie rzuty ma ośmiościan foremny o krawędzi \(\displaystyle{ 4 \sqrt{2} }\) jednak nie ma on największej objętości spośród wszystkich brył o takich rzutach. Taką będzie miała bryła powstała przez dodanie do każdej ściany ośmiościanu ostrosłupa, którego krawędzie wychodzące z nowego wierzchołka bryły mają długość \(\displaystyle{ 2 \sqrt{3} }\) .
Kryształ ma 24 ściany, a jego pole wynosi \(\displaystyle{ 24 \cdot 4 \sqrt{2} \ \ cm^2 }\)

Dodano po 11 godzinach 46 minutach 37 sekundach:
Po przemyśleniu muszę niestety zmodyfikować powyższe stwierdzenia. Uzyskana bryła nie jest 24-ścianem, lecz 12-ścianem gdyż odpowiednie pary trójkątów połączone są wspólnym bokiem i leżą w tej samej płaszczyźnie, więc naprawdę są rombami.