Łamigłówka logiczna

kerajs · Post autor: **kerajs** » 13 sty 2018, o 23:17

Tak na moje oko, to ta dziura jest w kształcie trójkąta równobocznego. A wtedy bryła liczona przez Kinię7 najzwyczajniej się przez nią nie przeciśnie. Pozostaje otwartym pytanie, jak wygląda bryła którą da się przełożyć przez koło (o średnicy x), kwadrat (o boku x) i trójkąt równoboczny (o boku x) wypełniając za każdym razem pole, przez które przeciska się bryłę.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 sty 2018, o 00:09

U Gardnere zadanie polega na stworzeniu korka, który może zatkać jednocześnie trójkątną, kawratową i okrągłą dziurę. Nie było słowa o tym, że trójkąt ma być równoboczny (choć na gardnerowskim rysunku tak wygląda.
Z opisu rozwiązania jednak widać, że ten trójkąt ma taką samą podstawę i wysokość.

Chyba nie jest trudno pokazać, że dla trójkąta równobocznego nie ma rozwiązania: bryłą musi zawierać dwa prostopadłe odcinki o maksymalnej długości, a to nie przejdzie przez trójkąt.

Inną bryłą spełniającą warunki zadania jest (patrz oznaczenia w moim wcześniejszym poście) jest walec \(\displaystyle{ x^2+y^2=10}\) ograniczony płąszczyznami \(\displaystyle{ z=0}\) i \(\displaystyle{ z=2}\), z którego odcięto dwa kawałki płaszczyznami przechodzącymi przez \(\displaystyle{ (0,\pm 1,2), (-1.0.0)}\) i \(\displaystyle{ (0,\pm 1,2), (1.0.0)}\) ,

Ta bryłą ma największą możliwą objętość. Bryłą opisana przeze mnie jest bryłą wypukłą o najmniejszej objętości.

Szkoda, że kinia7 podając wzory nie powiedziałą któą bryłę ma na myśli

kerajs · Post autor: **kerajs** » 14 sty 2018, o 08:54

a4karo pisze:Chyba nie jest trudno pokazać, że dla trójkąta równobocznego nie ma rozwiązania: bryłą musi zawierać dwa prostopadłe odcinki o maksymalnej długości, a to nie przejdzie przez trójkąt.

Dlatego dziwi publikowanie błędnej grafiki/ błędnego rozwiązania przy tak oczywistym wniosku.

a4karo pisze:Szkoda, że kinia7 podając wzory nie powiedziałą któą bryłę ma na myśli

Bryłę opisała bosa_Nike, a kinia7 dorzuciła jej wymiary:

Przyjmę bok kwadratu \(\displaystyle{ =a}\), średnica koła \(\displaystyle{ =a}\), trójkąt równoramienny o podstawie i wysokości \(\displaystyle{ =a}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 sty 2018, o 10:08

kerajs pisze:
a4karo pisze:Chyba nie jest trudno pokazać, że dla trójkąta równobocznego nie ma rozwiązania: bryłą musi zawierać dwa prostopadłe odcinki o maksymalnej długości, a to nie przejdzie przez trójkąt.
Dlatego dziwi publikowanie błędnej grafiki/ błędnego rozwiązania przy tak oczywistym wniosku.

Nobody's perfect

a4karo pisze:Szkoda, że kinia7 podając wzory nie powiedziałą któą bryłę ma na myśli
Bryłę opisała bosa_Nike, a kinia7 dorzuciła jej wymiary:
Przyjmę bok kwadratu \(\displaystyle{ =a}\), średnica koła \(\displaystyle{ =a}\), trójkąt równoramienny o podstawie i wysokości \(\displaystyle{ =a}\)

Nie zgodzę się. To nie jest opis bryły a jedynie opis trzech jej przekrojów. Z tego niewiele można wywnioskować o kształcie bryły.

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 14 sty 2018, o 20:45

kerajs pisze:Bryłę opisała bosa_Nike, a kinia7 dorzuciła jej wymiary

a4karo pisze:Nie zgodzę się. To nie jest opis bryły a jedynie opis trzech jej przekrojów. Z tego niewiele można wywnioskować o kształcie bryły.

Współczuję Ci. Wg mnie opis bryły podany przez bosa_Nike jest bardzo precyzyjny i jednoznaczny.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 14 sty 2018, o 22:44

Nie musisz mi współczuć. W poprzednich postach opisałem dwie bryły, które spełniają opis bosa_Nike i zaznaczyłem, że jest ich nieskończenie wiele.

Byłoby lepiej, gdybyś powiedziała którą z tych brył (a może jakąś inną) obliczałaś.

kinia7 · Post autor: **kinia7** » 14 sty 2018, o 23:41

bosa_Nike pisze:Bierzemy walec o wysokości równej średnicy podstawy (i średnicy okrągłego otworu) - to załatwia koło i kwadrat. Przecięcie dowolnej płaszczyzny prostopadłej do płaszczyzn podstaw i przechodzącej przez ich (tj. podstaw) środki wyznacza nam dwie odpowiadające sobie średnice podstaw. Końce górnej średnicy oznaczmy \(\displaystyle{ A,B}\). Na dolnej podstawie prowadzimy średnicę prostopadłą do uprzednio wyznaczonej. Końce tej prostopadłej średnicy oznaczmy \(\displaystyle{ C,D}\). Odcinamy części walca płaszczyznami \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ABD}\). To daje przekrój "pasujący" do trójkąta.

a4karo pisze:W poprzednich postach opisałem dwie bryły, które spełniają opis bosa_Nike i zaznaczyłem, że jest ich nieskończenie wiele.

Współczuję Ci.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 15 sty 2018, o 08:16

Cóż,
Faktycznie, opis bosa_Nike wystarczająco opisuje bryłę.

Przed Twoim postem pojawiły się jednak dwa rozwiązania: jedno podała bosa_Nike drugie scyth.

Podałaś objętość, ale nie podałaś którego z tych rozwiązań dotyczy.
Twój opis:

Przyjmę bok kwadratu =a, średnica koła =a, trójkąt równoramienny o podstawie i wysokości =a

może odnosić się zarówno do jednej jak i do drugiej bryły.

Zamiast po prostu potwierdzić,że mówisz o bryle opisanej przez bosa_Nike (bo to nie Ty, ale kerajs to stwierdził) wolałaś obdarzyć mnie swoim współczuciem. Nie warto dociekać co tak naprawdę chciałaś powiedzieć

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 15 sty 2018, o 16:30

Baba śpi, a wskaźnik cytowań jej sam rośnie.

Nie pamiętam już, dlaczego podałam taką odpowiedź. Musiała wydawać mi się wtedy oczywista. Być może rysunki zamieszczone przez autorkę wątku precyzowały wymiary otworów, trudno teraz o tym sądzić.
Poświęciłam chwilę, by się dowiedzieć, o co dokładnie chodziło Gardnerowi. Nawiązanie do tej zagadki znalazłam w dwóch książkach tego autora: More Mathematical Puzzles and Diversions oraz The Colossal Book of Short Puzzles and Problems. Dalej nie szukałam, bo interesowały mnie tylko kształt i wymiary otworów.
Poniżej cytaty z drugiej z wymienionych publikacji.

Martin Gardner pisze:PROBLEM 6.8-Cork Plug
Many old puzzle books explain how a cork can be carved to fit snugly into square, circular, and triangular holes [Figure 6.3]. An interesting problem is to find the volume of the cork plug.

AU

hYNWhVW.jpg (7.74 KiB) Przejrzano 653 razy

Assume that it has a circular base with a radius of one unit, a height of two units, and a straight top edge of two units that is directly above and parallel to a diameter of the base. The surface is such that all vertical cross sections which are made perpendicular to the top edge are triangles.
The surface may also be thought of as generated by a straight line connecting the sharp edge with the circular edge and moving so that it is at all times parallel to a plane that is perpendicular to the sharp edge. The plug's volume can of course be determined by calculus, but there is a simple way to find it with little more information than knowing that the volume of a right circular cylinder is the area of its base times its altitude.

(Podkreślenie moje - N.)

Opisana wyżej bryła wg autora spełnia warunki zadania, a rzeczywiście nie przejdzie przez otwór w kształcie trójkąta równobocznego, więc raczej nie o taki trójkąt mu chodziło. Precyzyjne sformułowanie zagadki autorki wątku znajduje się zapewne w jednej z wielu starych książek z łamigłówkami, a więc to tam trzeba by dotrzeć.

A tu rozwiązanie:

EDIT: Poprawki i komentarz.

Matematyka.pl