Do andixa: jeśli interesują Cię super klarowne rozwiązania to wejdź na
tylko trzeba trochę cierpliwości do podanych tam definicji.
Innych rozwiązań nie ma, a żebyś lepiej to zobaczył, wkleję fragment arkusza z iloczynami przy danej sumie:
11 17 23 27 29 35 37 ....
----------------------------------------------------
18 30 42 50 54 66 70
24 42 60 72 78 96 102
28 52 76 92 100 124 132
30 60 90 110 120 150 160
66 102 126 138 174 186
70 112 140 154 196 210
72 120 152 168 216 232
126 162 180 234 252
130 170 190 250 270
132 176 198 264 286
180 204 276 300
182 208 286 312
210 294 322
300 330
304 336
306 340
342
342
Jeśli suma byłaby 11 (lub 23, 27 itd.), to Sokrates nie mógłby jednoznacznie wnioskować jaki iloczyn miał Platon. Natomiast przy sumie 17 wszystkie iloczyny poza 52 odpadają, gdyż występują też przy innych sumach (w innych kolumnach), więc z kolei Platon nie mógłby wtedy wnioskować, że już wie. Liczba 52 w kolumnie 17 jest jedyną "samotną wyspą" w tej tabelce.
[ Dodano: Czw Kwi 07, 2005 9:48 am ]
Tekst trochę źle się wkleił. Grunt że w pierwszej kolumnie są 4 liczby (18,24,28,30), a w drugiej 7 (30,42,52,60,66,70,72).
Ciekawa zagadka o liczbach z Sokratesem i Platonem w treści
Ciekawa zagadka o liczbach z Sokratesem i Platonem w treści
Witam!
Teraz w prawie sie zgadzam, z jednym tylko sie nie moge zgodzić, że "Suma jest dobra, jeśli nie jest sumą dwóch liczb pierwszych" , co zostało błędnie napisane w rozwiązaniu .
Jeśli suma M+N jest sumą kwadratu pewnej liczby pierwszej p i tej liczby pierwszej, to też nie jest dobra, bo iloczyn MN tych liczb jest wtedy sześcianem liczby pierwszej, a to jednoznacznie wyznacza 2 rozwiązania: M=p^2, N=p lub M=p, N=p^2.
Pozdrawiam
( P.S.:
Jeszcze sie troche doczepie do rozwiązania Sz. P. Janusza Wojtala, a mianowicie:
1."Zauważmy, że im większa suma, tym więcej generuje iloczynów, więc szanse na to, że tylko jeden z tych iloczynów jest dobry, wydają się maleć ze wzrostem sumy"
Niezgodność: Jeśli mamy liczbę naturalną K, to ona "generuje" odpowiednio dobrą sumę, jeśli dla wszystkich różnych par liczb K1, K2, takich, że K1*K2=K, zachodzi:
Dla każdego i, takiego, że K1+K2>=2*i liczba (K1+K2-i)*i jest iloczynem conajmniej 3 liczb pierwszych, z wyłączeniem trzech takich samych liczb pierwszych. Zauważmy, że dla i>=3 wszystkie otrzymane liczby (K1+K2-i)*i spełniają powyższy warunek. Zatem wystarczy rozpatrzyć i=2., czyli wyrażenie (K1+K2-2)*2. Jak widzimy ilość takich wyrażeń dla ustalonego K jest równa ilośći różnych par liczb K1, K2, takich, że K1*K2=K. Zatem nieprawdą jest, że czym większe K, tym jest są większe szanse na uzyskanie dobrego iloczynu, co stanowi przykład: Dla K=70 K=7*10 lub K=14*5 lub K=2*35, a dla K=60, K=2*30, K=3*20, K=4*15, K=5*12, K=6*10, więc dla K=60 mamy 5 rozkładów, a dla K=70>60 tylko 3. Zatem zdanie "wydają się maleć ze wzrostem sumy" wydaje sie być nieprawdziwe . Dlatego, jeśli nie rozpatrzy się wszystkich takich równań, nie można stwierdzić, czy nie m a innych rozwiązań. Można oczywiście ograniczyć ilość równań, w zależnośći od ograniczenia M i N do czasu wielomianowego, co dla dużych liczb jest bardziej pomocne.)
Teraz w prawie sie zgadzam, z jednym tylko sie nie moge zgodzić, że "Suma jest dobra, jeśli nie jest sumą dwóch liczb pierwszych" , co zostało błędnie napisane w rozwiązaniu .
Jeśli suma M+N jest sumą kwadratu pewnej liczby pierwszej p i tej liczby pierwszej, to też nie jest dobra, bo iloczyn MN tych liczb jest wtedy sześcianem liczby pierwszej, a to jednoznacznie wyznacza 2 rozwiązania: M=p^2, N=p lub M=p, N=p^2.
Pozdrawiam
( P.S.:
Jeszcze sie troche doczepie do rozwiązania Sz. P. Janusza Wojtala, a mianowicie:
1."Zauważmy, że im większa suma, tym więcej generuje iloczynów, więc szanse na to, że tylko jeden z tych iloczynów jest dobry, wydają się maleć ze wzrostem sumy"
Niezgodność: Jeśli mamy liczbę naturalną K, to ona "generuje" odpowiednio dobrą sumę, jeśli dla wszystkich różnych par liczb K1, K2, takich, że K1*K2=K, zachodzi:
Dla każdego i, takiego, że K1+K2>=2*i liczba (K1+K2-i)*i jest iloczynem conajmniej 3 liczb pierwszych, z wyłączeniem trzech takich samych liczb pierwszych. Zauważmy, że dla i>=3 wszystkie otrzymane liczby (K1+K2-i)*i spełniają powyższy warunek. Zatem wystarczy rozpatrzyć i=2., czyli wyrażenie (K1+K2-2)*2. Jak widzimy ilość takich wyrażeń dla ustalonego K jest równa ilośći różnych par liczb K1, K2, takich, że K1*K2=K. Zatem nieprawdą jest, że czym większe K, tym jest są większe szanse na uzyskanie dobrego iloczynu, co stanowi przykład: Dla K=70 K=7*10 lub K=14*5 lub K=2*35, a dla K=60, K=2*30, K=3*20, K=4*15, K=5*12, K=6*10, więc dla K=60 mamy 5 rozkładów, a dla K=70>60 tylko 3. Zatem zdanie "wydają się maleć ze wzrostem sumy" wydaje sie być nieprawdziwe . Dlatego, jeśli nie rozpatrzy się wszystkich takich równań, nie można stwierdzić, czy nie m a innych rozwiązań. Można oczywiście ograniczyć ilość równań, w zależnośći od ograniczenia M i N do czasu wielomianowego, co dla dużych liczb jest bardziej pomocne.)