Rozważmy sztywny kąt prosty \(\displaystyle{ MZN}\) i ruchomy krzyż prostokątny o środku w punkcie \(\displaystyle{ B,}\) i ramionach \(\displaystyle{ VW}\) i \(\displaystyle{ PQ.}\) Dodatkowo linijki \(\displaystyle{ RS}\) i \(\displaystyle{ TU}\) mogą przesuwać się prostopadle do ramion tego kąta prostego \(\displaystyle{ MZN}\). Przypuśćmy, że dany sześcian ma bok o długości \(\displaystyle{ a>0}\). Obieramy na krzyżu dwa punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ G}\), takie, że: \(\displaystyle{ \left| GB\right| =a}\) i \(\displaystyle{ \left| BE\right|=f:=2a}\). Umieszczając krzyż w taki sposób, aby punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ G}\) leżały odpowiednio na odcinkach \(\displaystyle{ NZ}\) i \(\displaystyle{ MZ,}\) i przesuwając linijkami możemy ustawić krzyż w taki sposób, że: \(\displaystyle{ U=E}\), a punkty \(\displaystyle{ W}\) i \(\displaystyle{ Q}\) leżą za odpowiednimi punktami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ D}\)- zobacz poniższą ilustrację: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Ponieważ w kwadracie kąty pomiędzy bokami są proste, i ramiona krzyża przecinają się również pod kątem prostym, więc trójkąty \(\displaystyle{ ADB}\), \(\displaystyle{ BDE}\) i \(\displaystyle{ ABG}\) mają równe odpowiednie kąty, są więc podobne. A zatem:
\(\displaystyle{ \frac{a}{x}= \frac{x}{y}= \frac{y}{f};}\)
skąd: \(\displaystyle{ x^2=a \cdot y}\) i \(\displaystyle{ x= \frac{y^2}{f}}\).
A zatem, podstawiając:
\(\displaystyle{ x ^{3}= \frac{ \left( ay\right) \cdot y ^{2} }{f}= \frac{ay^3}{f}= \frac{ay ^{3} }{2a}= \frac{y^3}{2}.}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x^2= ay}\) i \(\displaystyle{ xf=y^2}\), więc \(\displaystyle{ x^3f= ay ^{3}}\), i ponieważ \(\displaystyle{ f=2a}\), więc \(\displaystyle{ 2x ^{3}= y^3}\), czyli \(\displaystyle{ x^3= y^3/2.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ y= \frac{x^2}{a}}\), więc \(\displaystyle{ x^3= \left( \frac{x^2}{a} \right) ^{3}/2}\), czyli \(\displaystyle{ x ^{3}= \frac{x^6}{2a^3}}\) i \(\displaystyle{ x^3= 2a ^{3}.}\)
Czyli \(\displaystyle{ x}\) jest bokiem sześcianu którego objętość jest równa podwojonej objętości sześcianu o boku \(\displaystyle{ a.\square}\)
\(\displaystyle{ }\)
Dodam tutaj jeszcze dowód wyczytany z tej samej książki (Co to jest matematyka R.Courant i H.Robbins) pokazujący, że liczba \(\displaystyle{ e}\) jest niewymierna.
PROSTY, LECZ DOKŁADNIEJSZY DOWÓD TEGO FAKTU::